解答题专练(五) 数列(二)-【鱼跃龙门卷】2025年高考数学试题逐题突破

鱼铁龙门老 2024一2025学年度高考试题逐题突破—解答题专练（五） 数学·数列（二） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知等比数列{a.}的公比为q,前n项和为S.,am>0,3a2十2a3=a4,S5=13as+4. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)记数列{a.}中不超过正整数m的项的个数为bm,求数列{bm}的前100项和T1, 之(15分)记数列a,的前n项和为5a1=1,当n≥2时，S=a,(S.-1).设b,=log:S.2 数列{bn}的前n项和为T。: (1)求S.: (2)求满足T,≥6的最小正整数n. 数学·解答题专练（五）第1页（共2贡） 3.(15分)记S为数列{a.}的前n项和，已知S.,2n的等差中项为am· (1)求证：{a.十2}为等比数列： (2数列。十}的前n项和为工，是否存在整数长满足工.∈(，+1D?若存在，求出长的 值，若不存在，请说明理由， 4.(15分)已知数列{am}满足4S.一2a.=2”,n∈N”,其中S.为{a.}的前n项和.证明： 1)2-是等比数列： 1 1 1 (2)6a1-3+6a+3+6a,-3+…+6a,+3x(-1)<1 数学·解答题专练（五】第2页（共2页】高考逐题突破 当≥2时号+号+号+…+号-n①. ++2+…+--1@… 0-®得号=1， 所以a.=2",当n=1时，a1=2,符合上式， 即a,=2. 1 (2)因为6，一2"+2· 1 1 所以6.+6m-.-2+2十2m+22+2十2m+2·2 1 2" 20+2“1 2+2+(2+2)2-(2*+2)2020 1 1 所以6+6：+b:+…+bm一2+2十2+2+… 1 2+26①. 1 1 1 b,+b+b:十+b:+b,=20+2+20+20+…+2+2 ②. 1 99 义因为b,+b一2，所以①+②得2(b,+b:+b十…+b)=2, 所以b,十b:十…十h一2 99 数学解答题专练（五） 1,(1)解：由3a2+2as=a,得3a,+2a29=a9°，则g2-2q-3=0, 因为a.>0,则q>0,g=3, 又5，=13：十4，即》-13a9+4,则a,=1. 所以a.=3"-1 (2)由题设及(1)得b1=1,且当3-1≤m<3”时，b.=n,即 b1=b:=1,b=b,=…=b,=2,b,=b10=…=b2%=3, ba=bw=…=b=4,bg1=ba2=…=b1m=5, 所以T1m=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384. 2.解：(1)由S.=a.(S。-1), 1=1=1 可得S=(S,-S(S。,即1.5 S。S- 所以数列侵)是等差数列，其首项为1，公差为1， 所以.=1+m-1)=,所以5.= S=log （2)由(D,可得6.=1og:S n十2 n 所以T,=是+e+g++be -+og+2 n一1 n =log: (n+1)(n十2) 2 ·40 ·数学· 参考答案及解析 由T,≥6可得log (n+10m+2)≥6， 2 即(n+1)(n十2)≥2.即n+3n-126≥0. 令f)=+r-126-(+2》-5 可得函数f(x)在[1，+∞)上单调递增， 又f(9)=-18<0,f(10)=4>0, 所以n≥10，故满足T.≥6的最小正整数n是10. 3.(1)证明：因为S。,2n的等差中项为a.,所以S。十2n=2a., 因为n=1时，S,=a1,则S1十2=2a1,所以a,=2, 由S.+2n=2a.得S.+1+2n+2=2a.+1 两式相减得a+1+2=2aw+1-2a。,即a+1=2a。十2， 所以有a+1+2=2(a.+2),所以，十2 0,十2=2， 所以{a。十2}是等比数列，其首项为a1十2=4，公比为2. (2)解：由1)知a.+2=4·21,所以a,=21-2,所以，1。 以a,+321+1' 41 因为0K六所以工a叶>0 又T,= 1 41 所以T∈(0,1)，所以k=0. 4,证明：(1)因为4S。-2a.=2",所以4S。-1-2aw-1=2"-(n≥2)， 两式相减得4(S。-Sw-1)-2a.十2a.-1=2-2"-1,即a,十a,-1=2"2(n≥2). 因为 2"6 .-11 am-11 am-11 2(n≥2. 2-1-6 2可-6 2-16 当n=1时，4S,-2a1=2,即a1=1. 又因为号一。言≠0.所以侵一吉引是以时为首项，专为公比的等比致列 2将会日言×(-名》所以a-号x(-1+日×， 1 1 令b, 6a.+3(-1)-2-(-1) ×2 3 1 3 则b-1十b.2+1十2-12+21-12可= 40 不等式左边的前如项和工。<子+++3二文一。 -<1」 4" 又b,>0,所以T.<T+:<…<T1<T<1,所以原不等式得证. 数学解答题专练（六） 1,解：(1)设{a.}的公差为d,又a1,aaa,十1成等比数列， 所以a=a1·(a,+1),即(a1十d)=a,(a1+2d十1)， 又a1=1,即(1+d)=2+2d,解得d=1或d=-1, ·41