解答题专练(三) 解三角形(三)-【鱼跃龙门卷】2025年高考数学试题逐题突破

高考逐题突破 所以inC=3sinB cos C-cos B sin Ccos B=3sin Beos C. 因为a=2b.由正弦定理可得， sin A=2sin B=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=4sin Bcos C. 所以2sinB=4 sin Beos C, 由B为三角形内角，故sinB≠O, 所以cosC-立 又0C<,故C-吾 (2)法一：由(1)知，sin Ceos B=3 sin Bcos C, sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=4sin Bcos C. 由正弦定理可得a=4 bcos C, 由a=6,且cosC=a+6-c2_6+6- 2ab -,代入a=4 bcos C可得 26b 6-4×-c+6 ,化简得c2-b=3,联立b+c=3, 26 解得c=2.b=1, 又由a=4bc0sC=6可得cosC= 4 则sinC=-cos'c=10 4 1 故S△Ae=2 absin C= 2×6x0=5 1 44 法二：由tanC=3tanB可知，B,C均为锐角，且tanC>tanB, 所以0<B<C<受： 如图，在△ABC中，过点A作边BC上的高AD,垂足为D, 由anC=3anB可得，C-0.则有BD=8DC, 4,DC=6 由a=BC=6=BD+DC=4DC,可得BD=36. 设AD=,则c=AB=后+D-么+受， b=AC=√+DC=,h2+3, 8 由6+=3可得++， 8=3. 解得h-5 4,故高AD=0 4 所以△ABC的面积为2BC,AD-名×5×-年 数学解答题专练（三） 1.解：(1)因为4sinA一bsin B=csin(A-B)=c(sin Acos B-cos Asin B), 由正弦定理可得4a一b2=c(acos B一bcos A)=aceos B一cbcos A, 由余弦定理知eccos B=2a+c-6).cbeosA=c+6-a). 1 ·36· ·数学· 参考答案及解析 可得4a-b=c(acos B-beos A)=a2-b2, 则4a=a2,由a>0,解得a=4. (2)在△ABC中，由余弦定理知+c-a'=2 becos A,又在△ABC中，有S=2 esin A, 所以2 besin A=B6+c-a5 4 2 bceos A,化简得tanA=3, 因为A∈0x,所以A-音 又a=4,由正弦定理得b=8 8 ·sinB,e= ·sinC, b+[血B+n(货-小=8n(B+) 因为在△ABC中，A=号0<B<行，所以<n(B+若)<. 所以4<b十c≤8，当A=B=C时，等号成立， 所以△ABC周长的取值范围是(8,12]. 之解：)在△ADC中，∠ADC=营由余弦定理得AC=中4-2X1X2X2 =3, 则AC+AD=4=DC,所以∠DAC=,∠ACD=若 由△ABC为等边三角形，得BC=,∠ACB=行，于是∠DCB=吾+吾- 3-2 所以△BCD的面积Sam=号×2X,5=原(km) (2)不妨设∠ADC=0,∠ACD=a,0∈（答xa∈(0，若 在△BCD中.Sam-号·DC,BC·sne+)=BC(sne+5cosa 在△ACD中，由余弦定理得AC2=2+1-2×2×1×cos0=5-4cos0, 又1=AC+4-2AC·2osa,则cosa-AC+3_2-cos0, MAC AC sin o sin a sin a-sin 0 在△ACD中，由正弦定理得AC=1 AC,又AC=BC, 又0c(管小，当且仅当0-吾-登即0-爱时取等号， 所以So最大值为(1十√3)km. 3.解：1)由2S(sinC+sinA sin B'sin C ）=(a+6)sinA和正弦定理，三角形面积公式可得，tesin A(行+号）=(a+b) sin A. 因为sinA>0,故得c2十ab=a2+b, 由余孩定，得@C-t子-器-周为CE08期C-号 (2)由余弦定理，得a2+b'-2 abcos C=c2,即a2十b2-ab=2, 整理，得a+bP=2+3a6≤2+3（士），当且仅当a=6时等号成立，即a十6≤ 则0<a+b≤22，即当a=b=2时，△ABC周长最大，最大值为3√2. ·37· 高考逐题突破 1 (3)由S△Ar= 2h、1 =2 absin C可得，4c=3ah, 由正弦定理，得口 b 2 sin A sin B sin C 、3ah=g,即得，b-，2 sin A'sin B' 2 SAAue-zabsin C-Xin 1 1 2 2、5 场 sin AsinA) 3 5 45 sinAo 2sinA】 n2A+1-os2A)2sin(2A-g）+1 3 由△ABC为锐角三角形可得， A<. 2 解得，<A< 0 3 -A<2 则后<2A-音<后由正弦商数的图象知sn(2A-君)<1，放<Sm<25, 即△ABC面积的取值花周为等.2同)。 4.1)解：由题意可知∠BPC-BC-2。 BC 质以△PBC的外接圆的半径R=2 sin /BPC三223 2x83 2 (2)证明：若0= 6· 则S=Sau+Sa+Sam=7c·APsn0+ 1 za·BPsin0+ 2b·CPsin0 -2in0a·BP+c·AP+b:CP)=a·BP+cAP+h.CP) 1 所以a·BP+e·AP+b·CP=4S, 在△ABP,△PBC,△PAC中， 分别由余弦定理得BP2=e2+AP-2c·APcos8,CP=a°+BP2-2a·BPcos0,AP2=b2+CP2-2b· CPcos 0. 三式相加整理得2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a+b2+e2, 因为0=君，所以a+6+c=435. 3)证明：由(2)得S△x2sin0(a·BP+e·AP+b·CP 所以a·BP+c·AP+b·CP=2S△， sin 由2cos0(a·BP+c·AP+b·CP)=a2+b+c2, 所以a+6+c=26os9.2S=20s9.cim2 sin sin 0 =4bc cos0, 又由余弦定理可得b2+c2=a+2 becos A=a”+2bc(cos0-sin0), 所以2a2+2bc(cos20-sin0)=4 be cos0, 所以a2=bc(cos0十sin0),所以a2=bc, 由正弦定理可得sinA=sin Bsin C, ·38·广鱼跃龙门老 2024一2025学年度高考试题逐题突破一解答题专练（三） 数学·解三角形（三） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4sinA一bsin B=csin(A一B). (1)求a的值： (2)已知△ABC的面积为3(+c-a),求△ABC周长的取值范围. 4 2.(15分)沂河岸边欲修建一个形状为平面凸四边形ABCD的休闲观光、生态保护的主题公园， 如图，其中DC=2km,DA=1km,△ABC为正三角形.建成后△BCD将作为人们旅游观光、 休闲娱乐的区域，△ABD将作为生态保护的功能区域. ()当∠ADC=时，求△BCD的面积： (2)求△BCD面积的最大值. 数学·解答题专练（三）第1页（共2页） 3.(15分)在面积为S的△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,且2S(m6+m) (a2+62)sin A. (1)求C的值： (2)若c=2,求△ABC周长的最大值： (3)若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围. 4.(15分)如图，若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA,则称P为△ABC的布罗 卡尔点.若∠PAB=∠PBC=∠PCA=0,则称0为布罗卡尔角. (1)若△ABC是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是△ABC的内心（内心是三角形三条 内角平分线的交点)，求△PBC的外接圆的半径： (2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,△ABC的布罗卡尔 角为0，且0=石证明：a2+b+c2=43S: (3)在△ABC中，记△ABC的布罗卡尔角为0，若A=20,证明：sinA=sin Bsin C 数学·解答题专练（三）第2页（共2页）