选择填空题专练(八) 空间几何体的表面积与体积-【鱼跃龙门卷】2025年高考数学试题逐题突破

·数学· 参考答案及解析 2g+y, EZ. 3x+$E(+e),所以{ 解得2kπ- #+ π+2元, 以一-<<又因为()-co(+)-_#解^ 5π 3. 数学选择填空题专练(八) 一、选择题 1. D【解析】根据几何体结构特征,将几何体补形为长方体ABCD-PB。C.D,如图,显然四 梭锥P-ABCD的外接球即为长方体ABCD-PB.C.D.的外接球,所以外接球球心在PC中 点处,又PC-AB+AD+PA-26,故外接球半径R-,所以V-*R-8、6x. 2. B【解析】因为球的一截面的面积为3x,所以截面圆的半径为v3,又因为球心O到该截面 的距离为1,所以球的半径为R- 1+(③)=2,所以球O的表面积为4xR=4πx 4-16π. 3. D【解析】因为球与该正三梭锥的各梭均相切,所以平面ABC截球得到的截面圆与 △ABC的三边均相切,所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC垂直的直线上,又因 为正三校锥P-ABC的底面边长为2③,所以底面正三角形的内切圆的半径为, tan 30{一1,又因为球的半径为1,所以校切球的球心即为底面正三角形的中心点O,如图, 过球心O作PA的垂线交PA于H,则OH-,-1.又因为OA-2,所以AH-3,所以 1P0 2,所以PO-23 ③2 .因为△ABC外接圆的半径为OA一2,正三校锥P-ABC外接球的 3-),解得R-4. 4. D【解析】由题意,设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有c+b一4,则该圆锥的体积V= b.)一 27~. 5. A【解析】P为圆台母线AB的中点,O.,O。分别为上、下底面的圆心,把圆台补成圆锥,如图1所示,则 O.A-1,0.B-2,AB-4.由O.A/O.B,有SA-4.$B-8.$P-6.又底面圆的周长为4x,母线长SB=8,所 动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为PP',乙PsP'- - SP-sP'-6,则PP'-6、2. : ___- 0..: 图1 图2 .13. 高考逐题突破 6. C 【解析】设AP=AQ=AR=1,0 1<1,以D为原点,DA,DC,DD.所在直线分别 为x,y,:轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则Q(1一1,0,0),P(1,7,0),R(1,0,7). C(0.1,1),设平面PQR的法向量为n=(x,y,z),又PQ-(-1,-1.0).PR-(0,-. Pn-0. “符 {R二 [-1x-=0. ).则{ “令-1,则y--1,:--1,所以n-(1,-1. 1y--0. C.n_3-.c -1),又C.P-(1.t-1.-1),C.到平面POR的距离d= In 3 1③ *(③一) x(v2):×3-((3-)) ,令()一 6-3*1(2-) ,h()一 2 .(0.1].h'(o)>0,h() 6r ③ 6 单调递增,故当,-1时,nhi(ti)mn-h(1)- 21 63 二、选择题 7. BCD【解析】平面a截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则平面。一定过 正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等,故A错误;根据对称性,截面不会是三角形. 五边形,但可以是正六边形(如图,取相应校的中点构成截面),故BCD正确. 8. ABC【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为r(r0),高为h(h>0),则Vm=xr*},V= 积相等,所以2xrh一xr 十h,所以r-3h,则,-③h,即圆柱的底面半径和高之比为③,故B正确;所以 圆锥的母线/= 十h=(③h)+h=2h,则圆锥的母线和高之比为2,故C正确;圆柱的表面积$, (3十2③)xh2 (6十2③)(3-2③) -2/③-2,故D错误. (3十2/③)(3-2/3) 9. ACD【解析】对于A,由AB=AD=BC-2cm,且 CD-2AB,可得CD=4cm,高O.O= 3、3(cm”),所以A正确;对于B.圆台的体积为V=n(1+2+4)×v③- 7 x(cm),所以B错误;对于C,设圆台的外 3 接球的球心为O,半径为R,如图,连接OA,OD,设OO一h,在Rt△OOD中,可得R $ +OD}-h*+4,在Rt△O0A中,可得R=0O}+OA}-(h+③)+1,即(h+ ③)}十1-h}十4,解得h一0,即0与O.重合,所以R=2cm,所以外接球的体积为 3)*a(cm{}).,所以C正确;对于D.由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母 所以沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5cm,所以D正确 三,填空题 81 10. 【解析】设圆锥底面圆半径为r,则圆锥表面积为xr+3v/2xr=8π,r+3/2,-8-(r-2)(r十42) 0.所以r一/2或,二一4v2(舍),则圆锥的高为h一(3/2)一(②)一4,外接球球心在圆锥的轴上,设外接球 。141 ·数学. 参考答案及解析 半径为R,由勾股定理列方程得R{=(4-R)+(v\2){③},解得R= 4xR:81x 11. 117m【解析】如图,过E作EO上平面ABCD,垂足为O,过E分别作EG1BC,EM AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM,因为EO1平面ABCD.BCC平面ABCD,所以 EO 1BC,因为EG 1BC,EO,EGC平面EOG,EOOEG-E,所以 BC 1平面EOG,因 为OGC平面EOG,所以BC1OG,同理,OM1BM,由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面 14 的夹角分别为 EMO和EGO,所以tanEMO-tan EGO= -.又BMIBG,故四边形OMBG是矩形,所 以由BC-10得BG-OM-5,所以EO-14,所以OG-5,所以在直角三角形EOG中,EG-EO +G$ (V14)^{+5^{}-39,在直角三角形EBG中,BG-OM-5,EB= EG{+BG^{}-(V39)+5^{}-8,又因为$$ EF-AB-5-5-25-5-5-15,所以所有核长之和为2×25+2X10+15+4×8-117(m). 5n 12 【解析】设圆锥内接最大正方体ABCD-A.B.C.D.枝长为a,圆锥底面圆半径为r. 高为h,由题意得,一1,h一2/②,则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如图. 2 2/24 3 ,所以正方体的面对角线长为/2a一 2/2 -的球与正方体表面交线情况如图所 示,所以交线有两组各有三条长度相等的曲线,第一组曲线如图1,第二组曲线如图2 ## 图1 图2 AA=AB-22. 3 ,所以乙AAE-EAF一 2t ,所以交线的总长度为3EG+3FF一 2r 27 0 0 0 27 数学选择填空题专练(九) 一、选择题 1. C【解析】如图,延长AA,BB,CC,DD.由正四校台的性质可得侧梭AA,BB,CC. DD.的延长线交于同一点,设该交点为P.E,F,G.H分别为校AD..B.C.BC,AD的中 点,延长HE,GF,则HE,GF的延长线必过点P,则直线HE与直线GF相交于点P;与直 线BB.相交于点P;与直线CC.相交于点P:与直线BF是异面直线 2. A【解析】对于A:因为垂直于同一平面的两条直线一定平行,故A正确;对于B:若a13 n1a,则n/或nC3,故B错误;对于C:因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不 能确定,所以C错误;对于D:若a/{,m/a,则n/8或mC.故D错误 .15.广鱼联龙门产 2024一2025学年度高考试题逐题突破—选择填空题专练（八） 数学·空间几何体的表面积与体积 总分：63分时间：40分钟 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AB=2,AD=4,则该四棱锥外接球的体积为 A.24π B.26π C.20π D.86π 2.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为3π，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表 面积是 B.16π C.16 3 D.8π 3.已知正三棱锥PABC的底面边长为23，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三 棱锥P-ABC外接球的半径为 A.√3 B.2 C23 43 3 D. 3 4.已知Rt△ABC的斜边BC长为2，若沿其直角边AB所在直线为轴，在空间中旋转形成一个 圆锥，则该圆锥体积的最大值为 A B1 9 c. 53 163 9元 D. 27π 5.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条 母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点 P,则该质点运动的最短路径长为 A.62 B.6 C.6π D.3π 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D1中，P,Q,R分别是 D 棱AB,AD,AA1上的动点，且AP=AQ=AR,则三棱锥C1-PQR体积A 的最大值为 5 A.48 B.6 1 C. 数学·选择填空题专练（八）第1页（共2页） 班级 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 姓名 7.用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是 A.这两部分的表面积一定不相等 得分 B.截面不会是三角形 C.截面不会是五边形 D.截面可以是正六边形 8.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则 A.圆柱和圆锥的体积之比为3 答题栏 1 B.圆柱的底面半径和高之比为3 C.圆锥的母线和高之比为2 3 2圆柱和圆锥的表面积之比为多 5 9.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中， AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则 A.该圆台轴截面ABCD面积为3√3cm 8 9 B.该圆台的体积为7√3πcm C该圆台的外接球体积为。m D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.一个母线长为3√2的圆锥表面积为8π，则该圆锥外接球的表面积为 11.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可 以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体 其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB= 25m,BC=10m,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切 值均为、则该五面体的所有校长之和为 12。某圆维的侧面展开图是圆心角为红，面积为3x的扇形，若该圆锥内部有一个正方体 ABCD-A,B,C,D,,且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心， 半径为，的球与正方体表面交线的长度为 数学·选择填空题专练（八）第2页（共2页）