数学（山东济南卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（山东济南卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义． 根据相反数的定义即可得解． 【详解】解：根据相反数的定义可得，的相反数是． 故选：． 2．（本题4分）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形可以分为三部分，从下到上依次为长方形，梯形，正方形，再结合还有一个手把即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形下面一部分是一个长方形，紧挨着长方形的上面是一个梯形，梯形上面是一个正方形，且长方形中有一条从上而下的竖线，即看到的图形如下： ， 故选：B． 3．（本题4分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍224000000平方米．其中数据224000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：； 故选：B． 4．（本题4分）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数为n，根据“正多边形的外角和是其内角和的”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 5．（本题4分）如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作，则，    ∴，， ∵， ∴， 故选B． 6．（本题4分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，同底数幂的乘法，根据去括号，合并同类项，同底数幂的乘法的运算法则判断即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 7．（本题4分）2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 8．（本题4分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B．2 C． D．－2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由于，是一元二次方程的两根，可得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B． 9．（本题4分）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（本题4分）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，， 四边形是矩形， ，． ， ， ． 对于①，当时，点在上，点在上，且， 是等腰三角形，①正确； 对于②，，②错误； 对于③，，， 当时，点在上，点在处， ，③正确； 对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误； 对于⑤，是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，⑤正确． 综上可得，正确的有：①③⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）若函数有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据白球的频率得到相应的等量关系成为解题的关键． 先求得摸得白球的概率，设盒子中共有白球x个，再根据概率的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵共试验200次，其中有120次摸到白球， ∴白球所占的比例为， 设盒子中共有白球x个，则，解得：． 故答案为：15． 13．（本题4分）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解m即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，作于K，过E点作于P． ∵， ∴， ∴， ∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离， ∴点E到的距离是， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 14．（本题4分）某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 ． 【答案】20 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解方法． 利用待定系数法求出两者的函数解析式，再分别求出当时，y的值，再求它们的差． 【详解】解：设A类的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， ∴， 设B类的解析式为， 把点代入解析式， 得，解得， ∴， 当时，A类，B类， ． 故答案为：20． 15．（本题4分）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 17．（本题7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，把解集表示在数轴上；分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：； 解不等式，得：； 则不等式组的解集为：； 在数轴上表示如下： 18．（本题7分）如图，点E是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】证明：点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 19．（本题8分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求的长度（结果保留根号）； (2)求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． （1）过作于点，先解得到的长，再解，求出的长，则可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过作交的延长线于解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：过作于点， ， ，， ∴在中，， 在中，， ， ， ， ， 答：的长度为． （2）解：过作交的延长线于 ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 20．（本题8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，先证明，然后利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（本题9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． (1)补全频数分布直方图； (2)墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)该校约有人每天运动时间不少于分钟 【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中的已知信息，得到未知信息． 由统计表和统计图中的信息分别求出第一、二、四组的人数，补全频数分布直方图即可； 根据频数分布直方图中各组的人数和统计表中每个组显示的人数，分别求出每个组被盖住的人数，即可得到墨汁盖住的人数； 根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心角度数； 利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于分钟的人数． 【详解】（1）解：由统计表可知第一组有人， 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示：     （2）解：由可知第二组共有个数字， 第二组被墨汁盖住了个， 第三组共有个数， 第三组被墨汁盖住了个数， 第四组共有个数， 第四组被墨汁盖住了个数， 墨汁一共盖住了个数字； 第四组中被盖住的有一个数设这个数为， ， 解得：； 被盖住的数字为； 故答案为： （3）解：一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：； （4）解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟， 利用样本估计总体，可得：， 该校约有人每天运动时间不少于分钟．   22．（本题10分）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 (2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． （2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解； （3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， ， 即， 将代入， ， 直线的表达式为； （2）解：直线与反比例函数交于点A，B， 联立方程组得 解得， ， 过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，   ， ， ， 在中，当时，， ， 设直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D， ， 直线与x轴交于点G， ， ， ； （3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，   为的直径， ， 是的中点， ， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（本题12分）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （3）解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 25．（本题12分）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案； ②由，即可得到结论； （2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论； （3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ， ， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（山东济南卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题：本题共 5小题，每小题 4分，共 20分. 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题：本题共 10小题，共 90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分）计算：   2 01 tan 60 3 1 3 π 2             ． 17．（7分）解不等式组：   3 5 1 2 2 1 3 4 x x x x        ，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（山东济南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍224000000平方米．其中数据224000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（本题4分）如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B．2 C． D．－2 9．（本题4分）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 10．（本题4分）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）若函数有意义，则x的取值范围是 ． 12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 13．（本题4分）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 14．（本题4分）某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 ． 15．（本题4分）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）计算：． 17．（本题7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（本题7分）如图，点E是的中点，．求证：． 19．（本题8分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求的长度（结果保留根号）； (2)求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 20．（本题8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 21．（本题9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． (1)补全频数分布直方图； (2)墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟．  22．（本题10分）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 25．（本题12分）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（山东济南卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11． _________________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分）计算： ． 17．（7分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （9分） 20 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ． （9分） 22 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23. （10分） 24. （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 . （12分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（山东济南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍224000000平方米．其中数据224000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（本题4分）如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B．2 C． D．－2 9．（本题4分）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 10．（本题4分）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）若函数有意义，则x的取值范围是 ． 12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 13．（本题4分）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 14．（本题4分）某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 ． 15．（本题4分）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）计算：． 17．（本题7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（本题7分）如图，点E是的中点，．求证：． 19．（本题8分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求的长度（结果保留根号）； (2)求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 20．（本题8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 21．（本题9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． (1)补全频数分布直方图； (2)墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟．  22．（本题10分）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 25．（本题12分）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（山东济南卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B C B D B B B A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11． 12．15 13．/ 14．20 15． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（7分）解： .............................................................7分 17．（7分）解：解不等式，得：； 解不等式，得：； 则不等式组的解集为：；.............................................................5分 在数轴上表示如下： .............................................................7分 18．（7分）证明：点E是的中点， ∴，.............................................................2分 在和中 ， ∴，.......................................5分 ∴．.............................................................7分 19．（8分）（1）解：过作于点， ， ，， ∴在中，， 在中，， ， ， ， ， 答：的长度为．.......................................5分 （2）解：过作交的延长线于 ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．.......................................8分 20．（8分）（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线．.......................................4分 （2）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．.......................................8分 21．（9分）（1）解：由统计表可知第一组有人， 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示：     .......................................3分 （2）解：由可知第二组共有个数字， 第二组被墨汁盖住了个， 第三组共有个数， 第三组被墨汁盖住了个数， 第四组共有个数， 第四组被墨汁盖住了个数， 墨汁一共盖住了个数字； 第四组中被盖住的有一个数设这个数为， ， 解得：； 被盖住的数字为； 故答案为：.......................................5分 （3）解：一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：；.......................................7分 （4）解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟， 利用样本估计总体，可得：， 该校约有人每天运动时间不少于分钟．  .......................................9分 22．（10分）（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元．.......................................5分 （2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元．......................10分 23．（10分）（1）解：将代入， ， 即， 将代入， ， 直线的表达式为；.......................................2分 （2）解：直线与反比例函数交于点A，B， 联立方程组得 解得， ， 过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，   ， ， ， 在中，当时，， ， 设直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D， ， 直线与x轴交于点G， ， ， ；.......................................6分 （3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，   为的直径， ， 是的中点， ， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 综上所述，点E的坐标为或或或．........................10分 24．（12分）（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为；.......................................3分 （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或；.......................................7分 （3）解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴．.......................................12分 25．（12分）解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ， ， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；.......................................1分 ②， ， ， 故答案为：；.......................................2分 （2）成立，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ；.......................................5分 （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． .......................................12分 10 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$