6.3 球的表面积和体积 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教学设计 案例名称 球的表面积和体积 提供者 - 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是球的表面积和体积的计算及其在实际问题中的应用。 （2）本节课主要介绍了球的表面积和体积公式，以及如何通过这些公式解决实际问题。学生将学习球的基本概念，如球面、大圆和小圆，理解球的表面积和体积如何计算，并通过实例探索球的体积与表面积之间的关系及其应用。 （3）通过学习本节课，学生能够培养直观想象能力和数学运算素养。他们将学会如何从实际问题中抽象出球的模型，利用球的表面积和体积公式解决问题，从而提高分析问题和解决问题的能力。此外，学生还能掌握求解球的表面积和体积的方法，为进一步学习立体几何和其他数学领域打下坚实的基础。 教学目标 （1）直观想象：通过球的表面积和体积公式的学习，培养空间想象能力，理解球体在三维空间中的几何特性。 （2）数学运算：通过运用球的表面积和体积公式解决实际问题，提升数学运算能力，掌握公式的推导和应用。 （3）科学思维：通过分析球的表面积和体积与半径的关系，培养逻辑推理和问题解决能力，理解数学概念的实际意义。 （4）探究实践：通过合作探究和课堂练习，增强动手实践能力，掌握测量和计算球体表面积和体积的方法。 教学重难点 （1）理解球的表面积和体积公式的推导过程，并能在实际问题中灵活应用，培养直观想象和数学运算素养。 （2）掌握球与几何体（如圆锥）结合时的体积和表面积计算方法，提升综合运用几何知识解决实际问题的能力。 教学方法 讲授法、实验法、发现法、合作探究法 教学环境及资源准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示球的三维模型、表面积和体积的计算公式，以及相关例题的动态演示。 （2）《高中数学必修第二册》教材，确保学生能够查阅到球的表面积和体积公式的推导过程及相关习题。 （3）几何画板软件，用于辅助学生理解球的截面性质和球的表面积、体积的计算方法。 教学过程 一、导入新课 引入球的几何概念 老师展示一个标准的球体模型，引导学生观察并思考球体的特点。 （生：老师，这个球体没有尖锐的棱角，看起来非常光滑。） 老师进一步解释什么是球体，并介绍一些与球体相关的概念： 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆。 当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点。 过球外一点的所有切线的切线长都相等。 回顾已学知识 老师提问：我们已经学习了哪些常见几何体的表面积和体积公式？（生：长方体、正方体、圆柱、圆锥等。） 学生们踊跃回答各种几何体的表面积和体积公式： 生：长方体的表面积 S = 2 (lw + lh + wh)，体积 V = lwh； 生：圆柱的表面积 S = 2πrh + 2πr²，体积 V = πr²h。 老师肯定了学生的回答，并进一步追问：那么，球体的表面积和体积公式是什么呢？这正是我们今天要学习的内容。 二、讲授新课 球的表面积公式 老师板书球的表面积公式：设球的半径为 R，那么它的表面积 S 球 = 4πR²。 提问：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 学生思考后回答：球没有底面，球面不能展开成平面图形。 老师举例说明： 如果一个球的半径为 3 厘米，求它的表面积。 S 球 = 4π(3)² = 4π × 9 = 36π 平方厘米。 接着，老师引导学生深入思考：假设我们有一个半径为 5 厘米的球，它的表面积是多少？ 学生计算后回答：S 球 = 4π(5)² = 4π × 25 = 100π 平方厘米。 老师总结：球的表面积公式可以帮助我们快速计算出球的表面积，而不需要通过复杂的展开计算。 球的体积公式 老师板书球的体积公式：设球的半径为 R，那么它的体积 V 球 = (4/3)πR³。 老师举例说明： 如果一个球的半径为 2 厘米，求它的体积。 V 球 = (4/3)π(2)³ = (4/3)π × 8 = (32/3)π 立方厘米。 引导学生思考：如果一个球的半径变为原来的两倍，它的体积会变成原来的多少倍？ 学生思考后回答：体积会变成原来的 8 倍。 老师确认学生的回答并讲解：因为体积公式中包含了半径的三次方，所以当半径加倍时，体积会变成原来的 8 倍。 合作探究 例 1 （1）球的体积是 (4/3)π，求此球的表面积。 分析：先求出球的半径 R，然后代入表面积公式。 (4/3)πR³ = (4/3)π R³ = 1 R = 1 S 球 = 4πR² = 4π × 1² = 4π 答案：A. 4π （2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是多少？ 分析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，则由题意得 π(2R)²h = (4/3)πR³ 4πR²h = (4/3)πR³ h = (1/3)R r = 2R l = √(h² + r²) = √((1/3)R² + (2R)²) = √((1/3)R² + 4R²) = √((1/3)R² + (12/3)R²) = √((13/3)R²) = (√13/√3)R S 圆锥侧 = πrl = π(2R)(√13/√3) R = (2√13/√3)πR² S 球 = 4πR² S 圆锥侧 / S 球 = (2√13/√3)πR² / 4πR² = (2√13/√3) / 4 = (√13/2√3) 简化后得到比值为 (√13/2√3) 综合应用 例 2 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形。在此容器内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 分析： 设△PAB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高 PC = 3r，球取出后水面高 PH = x。 以 AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥 = πAC²・PC = π(r√3)²・3r = 3πr³ V 球 = (4/3)πr³ 球取出后水面下降到 EF，水的体积为 V 水 = πEH²・PH = π(PH・tan 30°)²・PH = πx³ V 水 = V 圆锥 - V 球 πx³ = 3πr³ - (4/3)πr³ πx³ = (9πr³ - 4πr³)/3 πx³ = (5πr³)/3 x³ = (5/3)r³ x = r · (5/3)^(1/3) 答案：水面的高为 r・(5/3)^(1/3) 三、课堂总结 球的表面积和体积公式 设球的半径为 R 表面积公式：S = 4πR² 体积公式：V = (4/3)πR³ 用一个平面截球所得截面的特征 用一个平面去截球，截面是圆面。 球心和截面圆心的连线垂直于截面。 球心到截面的距离 d与球的半径 R 以及截面的半径 r，有下面的关系 r = √(R² - d²)。 四、课堂练习 思考辨析 （1）球的表面积等于它的大圆面积的 2 倍。 (×) （2）两个球的半径之比为 1:2，则其体积之比为 1:4。 (×) （3）球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面。 (√) 选择题 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C. 3 填空题 表面积为 Q 的多面体的每一个面都与表面积为 64π 的球相切，则这个多面体的体积为 ( ) A. Q B. (4/3)Q C. (16/3)Q D. 2Q 答案：C. (16/3) Q 解答题 某几何体的三视图如图所示 (单位：m) 作业布置 （1）请学生自行推导球的表面积和体积公式，并完成课后习题 3 道，分别涉及到公式的直接应用、变形应用以及实际问题的解决。 （2）设计一个与球相关的实际问题，要求学生使用所学的球的表面积和体积公式来解决，例如计算一个特定尺寸的球体的表面积和体积，并讨论其在实际生活中的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$