精品解析：福建省南平市建阳区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

建阳区2024—2025学年第二学期 八年级期中质量检测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各数中，能与12和13组成一组勾股数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长度是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形A的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直平分 D. 正方形是特殊的矩形 8. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（　　　） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. ______． 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 13. 若a，b为实数，且，则____________． 14. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为________． 15. 如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，则等于_________． 16. 如图，在正方形内，有一动点，连接、，满足，且，点是的中点，连接，则的最小值是_________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在四边形中，，点、在对角线上，且，，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在中，对角线与相交于点，且，点、分别为线段、的中点，连接、、、，求证：四边形是矩形． 22. 如图，已知在灯塔的正北方向有一海上景点，正东方向有一小岛，已知、两地相距，、两地相距，如图构建平面直角坐标系． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）现在恰好有一艘小船位于航线上，且到、两地的距离相等； ①求出小船的坐标； ②此时小船到航线的距离是多少？ 23. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，连接，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 24. 数学活动中，给出如下定义：如果三角形有一边上的中线等于这边长的2倍，那么我们称这个三角形为“奇异三角形”．如图1，在中，为边上的中线，若，则即为“奇异三角形”． （1）如图2，在中，，，求证：是“奇异三角形”； （2）如图3，已知线段直线l于点C，且，若直线l上存在一点B，使得是“奇异三角形”，求的长． 25. 如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建阳区2024—2025学年第二学期 八年级期中质量检测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握概念是关键． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式； 故选D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 3. 下列各数中，能与12和13组成一组勾股数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴5，12，13是一组勾股数，符合题意； B、∵， ∴6，12，13不是一组勾股数，不符合题意； C、∵， ∴7，12，13不是一组勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，12，13不是一组勾股数，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长度是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理，即可求出BC的长度. 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理进行解题. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式加减乘除运算法则是解题的关键； 根据二次根式加减乘除法则计算即可求解； 【详解】A、无法计算，原式计算错误；不满足题意； B、无法计算，原式计算错误；不满足题意； C、，原式计算错误；不满足题意； D、，原式计算正确，满足题意； 故选：D． 6. 如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形A的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图，中间的三角形为直角三角形， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积， 正方形A的面积为； 故选：C 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直平分 D. 正方形是特殊的矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、平行四边形和矩形的性质，熟练运用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定是本题的关键．利用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定可求解． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，选项说法正确； B、四边相等的四边形是菱形，选项说法正确； C、矩形的对角线互相平分且相等，选项说法错误； D、正方形是特殊的矩形，选项说法正确； 故选：C． 8. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，由勾股定理得，然后根据直角三角形斜边的中线性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点是线段的中点， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，得出，，再结合的周长为20即可求解． 【详解】解：， ，， ， 又， ， ，， ， 的周长为20， ， 四边形的周长 ． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（　　　） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质设，则，结合，得出，在中，勾股定理求出，则，根据折叠可得：，证出，根据等腰三角形三线合一得出，设，则，，在中，根据勾股定理得出，在中，勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：在矩形中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴， 设，则，， 在中，， 则， 解得：， 在中，， 则； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13. 若a，b为实数，且，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得，，再代入即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ； 故答案为：． 14. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理分类讨论计算即可． 【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为； 当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为； 故答案为：或 ． 15. 如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，则等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键；根据菱形的性质可得边长为，因为对角线互相垂直且平分，可以根据勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形的周长为， 故边长为； 对角线互相垂直且平分， ，， 为直角三角形， ， 化简得：； ； 故答案为：． 16. 如图，在正方形内，有一动点，连接、，满足，且，点是的中点，连接，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键； 取的中点，连接、，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理可得，进而求解； 【详解】解：因为，且四边形是正方形，所以点在以点为圆心， 长为半径的圆弧上； 取的中点，连接、； 因为点是的中点，点是的中点， ， 已知，正方形的边长 则， 即点在以点为圆心，为半径的圆弧上(在正方形内的部分)； 在中， ， 根据勾股定理 因为 (当且仅当、、三点共线时，等号成立)， 已知， ， 所以的最小值为； 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）合并同类二次根式即可求解； （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算，化成最简二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 = 【小问2详解】 解：原式= = 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据题意，先化简式子，再将代入求解即可； 【详解】解： 当时，原式 19. 如图，在四边形中，，点、在对角线上，且，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ， ，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据，，进而判定，推出，进而得证四边形是平行四边形； 【详解】略 20. 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：是直角三角形， 理由如下：连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据网格与勾股定理计算即可； （2）运用勾股定理逆定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∴长为，的长为， 故答案为：， 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，对角线与相交于点，且，点、分别为线段、的中点，连接、、、，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵点、分别为线段、的中点， ，， 又， ， ∴四边形是平行四边形，， 即， ∴四边形是矩形； 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； 根据四边形是平行四边形，可得，，进而求证四边形，进而得证； 【详解】略 22. 如图，已知在灯塔的正北方向有一海上景点，正东方向有一小岛，已知、两地相距，、两地相距，如图构建平面直角坐标系． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）现在恰好有一艘小船位于航线上，且到、两地的距离相等； ①求出小船的坐标； ②此时小船到航线的距离是多少？ 【答案】（1）； （2）①C的坐标；②小船C到航线的距离是． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据题意，分别表示坐标即可求解； （2）①由（1）可知，，，设，进而根据勾股定理得，进而求解；②过点作于点D，此时的长度即为到航线的距离, 根据，即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可得：点的坐标为；点的坐标为； 【小问2详解】 ①解：由（1）可知，，， 设， ， 又∵小船位于航线上，且到、两地的距离相等， ， 在中，由勾股定理得， ，解得， 所以小船的坐标， ②解：过点作于点D，此时的长度即为到航线的距离， 由①知，， ， ∴， 即， ， ∴此时，小船到航线的距离是； 23. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，连接，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） ， 理由如下：由（1）得， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）根据菱形的性质得到，证明，即可得出结论； （2），由全等三角形的性质可得，结合菱形的性质推出，即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 数学活动中，给出如下定义：如果三角形有一边上的中线等于这边长的2倍，那么我们称这个三角形为“奇异三角形”．如图1，在中，为边上的中线，若，则即为“奇异三角形”． （1）如图2，在中，，，求证：是“奇异三角形”； （2）如图3，已知线段直线l于点C，且，若直线l上存在一点B，使得是“奇异三角形”，求的长． 【答案】（1） 证明：如图2，作边的中线， ， ， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得， ， 是“奇异三角形”． （2）或． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解． （1）作边的中线，根据等腰三角形的性质得到，，求出，得到，即可得到结论； （2）分两种情况：当时，当时；利用勾股定理分别计算求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ①如图3，作的中线，是“奇异三角形”， 当时， ， ，， 在中，由勾股定理得 ； ②如图，作的中线，是“奇异三角形”， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， 解得， ， 综上所述，的长为或． 25. 如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】（1） 连接， ∵正方形，点E是的中点，， ∴设，则，，， ∴，，， ∴， ∴， （2）①根据翻折的性质，得到， ∴，，， 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、G、F三点在同一条直线上， ② 【解析】 【分析】（1）设，根据正方形的性质，点E是的中点，，在，中应用勾股定理，得到，即可得证， （2）①根据翻折的性质，得到，通过，得到，即可得证，②由，，，，得到，根据翻折的性质得到，结合，求出，即可求解． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②由（1）（2）得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $