精品解析：福建省永春第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题

2024~2025学年高一第二学期期中测试 数学科试卷 （2025.4） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 3. 在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，，为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（ ） A. B. C. D. 6 8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z坐标为，则在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于第三象限 C. 若，则z的虚部为 D. 虚数z为方程的一个根，则 10. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 对任意，都有 11. 一圆锥侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为线段上的动点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形ABC中，的最大值为 C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成______个三棱锥． 13. 已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的__________. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是实数. （1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围； （2）若是纯虚数，求正实数值. 16. 内角对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求. 17. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 18. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角； （2）若的内切圆半径为，求边长； （3）若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围. 19. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． （1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； （2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高一第二学期期中测试 数学科试卷 （2025.4） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 2. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知圆锥底面半径为1，母线长为2，即可直接计算侧面积. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以该圆锥底面半径为1，母线长为2， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，熟记公式是关键，属于基础题. 3. 在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 4. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果. 【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，， 所以三角形ABC的面积为． 故选：B. 5. 向量，，为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出，结合同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用诱导公式即可得解. 【详解】因为为第一象限角，所以，， 因为，，且，所以， 所以有，解得， 所以. 故选：A. 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】在中，，所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 故选：C． 7. 如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图，得到一个由四个全等的顶角为的等腰三角形组成的图象，所求的路径即为，求解即可. 【详解】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图). 要使路程最短，必须沿着线段前行. 在中，，，则. 作于H，则，，. 故选：D. 8. 在锐角中，角所对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和两角和与差的正弦公式可得，则，由为锐角三角形，求出的范围，结合在上单调递增，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即， 即，即， 即，所以或（舍去）， 所以，则， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得：， 因为在上单调递增， 由，可得，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，则在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于第三象限 C. 若，则z的虚部为 D. 虚数z为方程的一个根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式即可判断A；根据复数的几何意义结合共轭复数的定义即可判断B；根据复数虚部的定义即可判断C；根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，再结合复数的模的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若点Z的坐标为，则， 所以对应的点为，位于第三象限，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，设， 因为虚数z为方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理及三角形的性质判断即可；对于B，根据正弦定理及两角差的正弦公式化简判断即可；对于C，根据正弦定理及二倍角公式化简判断即可；对于D，由三角形内角和性质，余弦函数的性质判断即可. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得，则，故A正确； 对于B，由，根据正弦定理得， 则，即，所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，由，根据正弦定理得， 则，则或， 则或，所以等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为线段上的动点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形ABC中，的最大值为 C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件及弧长公式，利用圆锥的体积公式及向量的线性运算，再利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式，结合正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为， 所以，解得， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故A正确； 因为，M为线段AB的中点，N为弧BC中点， 所以，易知为等边三角形， 易得，， 设，， 所以， 所以当时，取得最大值为，故B错误； 圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为， 由等体积可得，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确； 设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则 ， 所以正四棱柱的表面积为 ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成______个三棱锥． 【答案】3 【解析】 【分析】画出图形，由图即可求出． 【详解】如图，三棱台可分割成三棱锥，三棱锥，三棱锥，共3个. 故答案为：3 13. 已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的__________. 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式，及共线向量的坐标表示求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 则，解得且， 所以“与夹角为钝角”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是实数. （1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围； （2）若是纯虚数，求正实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由复数的乘方求得，再由解出的范围即可； （2）先通过复数的运算得，再由解出正实数的值即可. 【小问1详解】 ，若表示复数的点位于第一象限，则，解得； 【小问2详解】 ，若是纯虚数， 则，解得或，又，则. 16. 内角对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由三角形的面积公式可得，进而结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 因为，所以， 则， 则， 则，即. 【小问2详解】 由，则， 由余弦定理得，， 则，即. 17. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是的中点，则， 因，所以， 则. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 18. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角； （2）若的内切圆半径为，求边长； （3）若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角的基本关系式，转化求解即可； （2）由余弦定理得：，又，设的内切圆半径为，则，因为的面积，可得，解方程可求解； （3）由题意可得为外接圆圆心，利用余弦定理及得，由是钝角三角形，得到，结合正弦定理求解外接圆半径的取值范围即可. 【小问1详解】 由正弦定理及得： ， 因为角是的内角， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得：， 又，所以①， 设的内切圆半径为，则， 因为的面积， 所以，即， 整理得，即， 因为，解得. 【小问3详解】 因为点为平面内一点， 设点为的中点，点为的中点， 则， 又， 所以， 所以为线段和垂直平分线的交点，即为外接圆圆心， 因为是钝角三角形，由，可知角为钝角，所以， 即，得②， 由①②可得，解得，所以， 由，得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理得， 所以的取值范围是. 19. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． （1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； （2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 【答案】（1）； （2），增区间为，减区间为，. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义，由直四棱柱的结构特征，分别求出A、处的离散曲率，相加后乘以4即可求得答案. （2）由曲率定义可得，应用三角形面积公式求底面积，根据棱柱体积公式写出体积解析式，再由正弦型函数的性质求单调区间. 【小问1详解】 在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形， 由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等， 所以处的曲率为，而处的曲率为，又， 所以、两处的曲率和为， 故直四棱柱在各个顶点离散曲率之和. 【小问2详解】 由题设，处的曲率，故， 所以直四棱柱底面面积为， 故直四棱柱高为1，故体积为， 令，，可得，，即，上递增； 令，，可得，，即，上递减； 所以增区间为，减区间为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$