精品解析：湖北省荆门市京山市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

京山市2024-2025学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，请将自己的考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用黑色签字笔把答案填写在答题卡对应的方框内． 写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域均无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8 5. 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开．若要剪出一个正方形，则剪口与折痕所成夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列命题：①全等三角形的对应边相等；②若两个实数相等，则它们的平方相等；③若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 12. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 _____． 13. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____． 14. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 15. 如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 18. 如图，四边形是菱形，于点H，求的长． 19. 如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 20. 如图，矩形的对角线、相交于点，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，求证：平分． 21. （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 22. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，点E、F、G分别是的中点． （1）探究与的位置关系，并证明你的结论； （2）探究与的数量关系，并证明你的结论． 23. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足的周长为，求此时的值； （2）若点在的平分线上，求此时的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 24. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京山市2024-2025学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，请将自己的考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用黑色签字笔把答案填写在答题卡对应的方框内． 写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域均无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数成为解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 故选A． 2. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 3. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可． 本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：A． 4. 如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等底等高，可知，求出△AOB的面积即可； 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、矩形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 5. 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开．若要剪出一个正方形，则剪口与折痕所成夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了通过折叠变换，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据翻折变换的性质和正方形的判定进行分析即可． 【详解】解：把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的角平分线， ∴当剪口线与折痕成45度角的时候，菱形就变成了正方形，即， 故选：C． 6. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺， 由勾股定理可得： 即：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理． 7. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 当时， 由得：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定． 8. 下列命题：①全等三角形的对应边相等；②若两个实数相等，则它们的平方相等；③若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、勾股定理的逆定理，难度不大． 利用全等三角形的性质、勾股定理的逆定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①逆命题为：对应边相等的两三角形全等，是真命题； ②逆命题：平方相等的两个实数相等，还可能互为相反数，是假命题； 为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c，则满足，未说明哪条边是最长边，是假命题． 真命题的有1个， 故选：B． 9. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵3＞2， ∴3※2=， ∵8＜12， ∴8※12==， ∴（3※2）×（8※12）=（）×=2． 故选B． 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，作于，令交于，解直角三角形求出，结线段垂直平分线的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，作于，令交于， ， 则， ∵，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据二次根式的性质即可得． 【详解】解：， 故答案为：5． 12. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 13. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论． 【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABC中，∠B=45°， ∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD=BC=2， 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF== ∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1， 故答案为-1． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 14. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得． 【详解】如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 则； 如图2， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， ∴DE=DC， ∴∠CED=∠ECD， ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴∠CED=∠ECD=×（180°﹣30°）=75°， ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°， 故答案为30°或150°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键． 15. 如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质和平行线的性质可证得，进而可得，再根据折叠的性质得到，即，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定即可得出四边形为菱形，根据菱形的面积公式可求得的长，再利用菱形的性质和勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求得的长 【详解】解：方法1：如图，过E作于K，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵图形翻折后点G与点C重合，为折线， ∴， ∴， ∴， ∵图形翻折后与完全重合， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 方法2：由方法1得四边形是菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∴． ∵四边形的面积是20， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边证明边相等、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用二次根式的性质化简成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 18. 如图，四边形是菱形，于点H，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，∠AOB=90°，即可利用勾股定理求出AB的长，再由进行求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 19. 如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵E是BC的中点， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用勾股定理分别求出、、的值，通过，可判定是直角三角形，，进而可以解决问题； （2）结合（1）根据，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 如图，矩形的对角线、相交于点，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，求证：平分． 【答案】（1） 解：，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线、相交于点， ， 四边形为菱形； （2） 解：连接交于点， 四边形为菱形， ，， ， 矩形， ， ， 在与中 ， ， ， 即平分． 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案； （2）利用全等三角形的判定和性质得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的性质与判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键． 21. （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及二次根式的乘法，加减法运算，完全平方公式和平方差公式，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）根据，再代入计算即可； （2）将代入，得到，再根据完全平方公式和平方差公式进行二次根式的乘法和加减法运算． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）原式 ． 22. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，点E、F、G分别是的中点． （1）探究与的位置关系，并证明你的结论； （2）探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） ， 证明如下：∵四边形是平行四边形，与相交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∵在中，，点E是的中点， ∴； （2） ，证明如下： ∵，点G是的中点， ∴， ∵在中，点E、F分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，，再得到，再根据等腰三角形的性质即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足的周长为，求此时的值； （2）若点在的平分线上，求此时的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）当t为或5或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据的周长为，可得，，在中根据勾股定理列出方程可求得t的值； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴由勾股定理得， 如图，连接， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图1，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 24. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 【答案】 （1）解：． 理由如下：如图，取的中点F，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）的周长c的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短线段等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）取的中点F，连接．利用“”证明出，即可得解； （2）在上截取，连接EF．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）连接，过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，此时的周长c有最小值；当与相等时，即A、D、P三点共线，此时的周长c有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，在上截取，连接EF． 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3）如图3，连接，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时的周长c的最小值为． 当与相等时，即A、D、P三点共线， 此时，则， ∴的周长c的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $