第五章第02讲 简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形 课程标准 学习目标 ①等腰三角形的性质 ②等边三角形的性质 1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点) 2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)　 知识点01 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，点D在上，且，则的度数为 ． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，已知，，则的度数是 ． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在中，．    (1)是上的高，． ①如图1，如果，则_____°； ②如图2，如果，则_____． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 知识点02 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【即学即练2】 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 ． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，中，，，于点，延长至点，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 题型01 等腰三角形两腰相等求解 例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为 ． 题型02 根据等边对等角求角度 例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 3．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 题型03 根据等边对等角证明 例题：（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·三模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 题型04 根据三线合一求解 例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ． 题型05 根据三线合一证明 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，是的中点．求证：． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 题型06 根据等边三角形的性质求解 例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为等边三角形，，，则的度数为 ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知点、点分别是等边三角形中、边的中点，，点是边上的动点，则的最小值为 ． 题型07 根据等边三角形的性质证明 例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，和是等边三角形，点，分别在，上，且，连接与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． (1)求的度数； (2)设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·重庆·期中）等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．18或20 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·二模）如图，在与中，，，，求证：． 12．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 15．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 16．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)当的度数为_________时，为等边三角形． 18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知和均是等边三角形． (1)与之间的数量关系为_____； (2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形 课程标准 学习目标 ①等腰三角形的性质 ②等边三角形的性质 1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点) 2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)　 知识点01 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】设，根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，根据可得，根据可得，最后利用三角形内角和定理可得，由此可解． 【详解】解：设， ， ， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰三角形中“等边对等角”． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出a、b的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 当边长为a的边为腰时，则等腰三角形三边长为，，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为a的边为底边时，则等腰三角形三边长为，，能构成三角形，符合题意，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，已知，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三线合一、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为，是边上的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在中，．    (1)是上的高，． ①如图1，如果，则_____°； ②如图2，如果，则_____． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】(1)①10；②； (2)； (3)仍成立，理由见解析． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等角的性质是解题的关键． （1）①等腰三角形三线合一，所以，又因为，所以，所以． ②同理，证明，所以． （2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得，再根据，得，再根据，从而可得出结论． （3）由于，所以，根据已知，证明，而，所以． 【详解】（1）解：①在中，，是上的高， ， ， ， ， ， 是上的高， ． 故答案为：10； ②在中，，是上的高， ， ， ， ， ， ． 故答案为：20； （2）解：在中，，是上的高， ， ∵ ∴， ∵是上的高， ∴ ∴ ∴． （3）解：仍成立，理由如下： ， ， ， 又， ， ，即． 知识点02 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【即学即练2】 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【答案】2或或4． 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可． 【详解】解：当点Q在上时，时，， ∴， ∴，解得：． 当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为2或或4． 故答案为：2或或4． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 ． 【答案】4 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、含30度角的直角三角形 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，中，，，于点，延长至点，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】（）证明为等边三角形即可求解； （）由等边三角形的性质可得，，进而由三角形外角性质得，即得，即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ∴为等边三角形， ∴； （2）证明：∵为等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 题型01 等腰三角形两腰相等求解 例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是 ． 【答案】11或13 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11， 能构成三角形； 当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5， ∵，故不能构成三角形． 综上所述，的底边长是5． 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为，能构成三角形， 综上，， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】9 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质∶等腰三角形的两腰相等，也考查了三角形三边的关系，分类∶若或，分别求出，然后在满足三角形三边的关系的情况下即可得到腰长． 【详解】解∶如图，   为中线， ． 若， ． ． 若， ． ． ， (舍去)． 故答案为∶9． 题型02 根据等边对等角求角度 例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴． 综上所述：等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 3．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，，根据角平分线的定义求出．分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， 即， 解得， ∴， ∵平分， ∴． ①如图，当时， ， ∴； ② 如图 ，当时， ∴； ③如图，当时， ∴． 综上分析可知：的度数为：或或 故答案为：或或． 题型03 根据等边对等角证明 例题：（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·三模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先判定，得到，再利用等角对等边的性质即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明． 【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 题型04 根据三线合一求解 例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ． 【答案】/110度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：中，， 是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，三线合一求出的长即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于E，F点，点M为线段上一动点， ∴， ∴的周长， ∵等腰的底边长为4，面积是，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长最小值为：； 故答案为：． 题型05 根据三线合一证明 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】△是等腰三角形，理由见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出，由平行线的性质推出，得到，推出△是等腰三角形． 【详解】解：△是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【详解】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，是的中点．求证：． 【答案】见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）由中线的性质得，由全等三角形的性质得，进而可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∵的面积是2， ∴四边形的面积为6． 题型06 根据等边三角形的性质求解 例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：9 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据平行线性质得，最后根据周角的定义可得出的度数． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，再由等边三角形的边长为4，得出的长．掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：为等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知点、点分别是等边三角形中、边的中点，，点是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质三线合一，全等三角形的知识点，解题关键是熟练运用等边三角形的性质三线合一的知识点． 连接交于，连接，则最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），再根据等边三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：连接交于，连接，如图所示，则最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短） 点、点分别是等边三角形中、边的中点， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， 在， 由勾股定理得：， 的最小值为：． 故答案为：． 题型07 根据等边三角形的性质证明 例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，和是等边三角形，点，分别在，上，且，连接与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由等边三角形得到，，然后证明出，即可得到； （2）由得到，，然后得到，进而求解即可； （3）作于点，，交的延长线于点，由等边三角形得到，，，求出，，然后由全等得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）和是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知， ，， ， ， ， ， ； （3）作于点，，交的延长线于点， ， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 2．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． (1)求的度数； (2)设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 【答案】(1) (2)25 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质推出，判定，得到，求出，判定，推出； （2）过作于，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质判定，得到是等腰直角三角形，因此，得到，求出，得到，由含 30 度角的直角三角形的性质得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如（1）图，过作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是判定，由含 30 度角的直角三角形的性质推出． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，进而可得，即可得到答案； （3）证明，得到，则，即求出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴， ∴， ∵于点Q， ∴． ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分顶角为和底角为两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时， 它的底角度数为：； ∴它的底角度数是或． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．18或20 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论；本题考查了等腰三角形的定义，属于基础题型，明确题意、正确分类求解是关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 此时4、8、8可以构成三角形， 则 ∴这个等腰三角形的周长为为20； ②当4为腰时，其它两边为4和8， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去． 故选B． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， 故A，C，D正确， 没有条件证明，故B错误， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴的周长等于，故结论③错误； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B． 5．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 只有当时，，②不一定正确； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 【答案】4 【知识点】全等三角形综合问题、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 即有4对全等三角形， 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    【答案】/27度 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·二模）如图，在与中，，，，求证：． 【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，结合，运用证明，则，最后运用等角对等边，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 12．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】三角形三边关系的应用、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为：，，，，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，求出，再证明，即可得证； （2）根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴除与外所有的等腰三角形为：，，，． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 15．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明三角形全等即可． （2）证明，推出，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答： 的度数为． 16．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理可得出答案； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，则，，再由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 又， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点， ， 又， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，证明． 17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)当的度数为_________时，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形判定，等腰三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键； （1）首先根据等腰三角形的性质得到，，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （2），根据直角三角形的性质求得，再求出，即可证明． 【详解】（1）证明：，是的中点， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴为等腰三角形； （2）解：当时，为等边三角形， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形 故答案为：． 18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知和均是等边三角形． (1)与之间的数量关系为_____； (2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)相等 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由等边三角形得到，，，然后证明出，即可得到； （2）同（1）可得，结合，可得结论； （3）如图所示，连接，同（1）可得，，得到，，然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）相等，理由如下： ∵和均是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴； （2），理由如下： 同（1）可得， ∴ ， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图所示，连接 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$