猜押19题 数列综合-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押09 数列综合第19题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 数列综合 2024年天津卷第19题 2023年天津卷第19题 2022年天津卷第19题 天津高考连续三年，数列大题是副压轴题。考察知识点较多，考察的数学方法技巧灵活，难度较大。数列大题考察，多是三问，第一问是较为基础的等差等比运算，属于送分的一问。第二问和第三问，则以数列求和和数列不等式证明为主，难度大，知识层的高。 预测2025年天津高考，在等差等比求通项的计算基础上，继续考察数列求和，与数列不等式，数列求和考察复杂的分段求和，形式多样的列项求和，以及综合性较高的“插入数型”求和，考察新数列、插入数型数列、下标数列等各种数列不等式证明和恒成立（能成立）求参型。 题型一 数列求和：分段型 （解答题） 1．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出，即可求出通项公式； （2）（i）由（1）可得其中，当为奇数时，，即可求出的通项公式，即可得证；（ii）令，则，利用分组求和法与裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii）令， 而， ， 所以. 2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，结合可得答案； （2）由（1）可得时，，然后当，时，可得，其中为小于的最大整数，据此可得当，其中时，可得，最后由分组求和可得答案. 【详解】（1）， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时， 则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为已学习过数列的组合. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和，是公比大于的等比数列，且满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)对任意的正整数，设数列求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； 设数列的公比为，由，求解； （2）由，利用裂项相消法求解； （3）由，利用错位相减法求解. 【详解】（1）当时，， ，又， 当时，， 设数列的公比为， ，，, 解得，； （2）， ， ， 当时，， ， 即； （3）由题意，， 设， 即，① 由（1）得，② 由①②得 ， ， 从而， ． 4．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系和等比数列的定义求，利用等差数列的定义求即可； （2）利用裂项相消求和即可； （3）利用分组求和和错位相减求和即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 则，解得， 所以当时，，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，经检验当时成立； 因为为等差数列，且，， 所以公差， 所以， 综上，. （2）由（1）得， 所以数列的前项和为 . （3）由（1）得， 所以， 令 ， ， 则， 两式相减，得 ， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键在于，利用分组求和法，将分成两个不同的数列求和，结合错位相减法即可得解. 5．（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. （2）当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 题型二 数列求和：奇偶相间型 （解答题） 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式建立等量关系，即可得到结果. （2）设，则要求结果即为数列的前项和，利用错位相减法计算可得结果. （3）根据条件计算数列的通项公式，表达，讨论的取值可比较与的大小． 【详解】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且， ∴，得，故， 设等比数列的公比为，∵，， ∴，解得，∴， 综上，数列和的通项公式分别为，． （2）设， 则即为数列的前项和，设为， 则， ∴， 两式相减得：， ∴， ∴． （3）由，得， 由，知， ∴，而，∴， ∴ ． ∴． 当或时，. 当时，， 当时，， ∴当时，． 综上得，当或时，；当时，；当时，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是找到相邻两项之间的关系，构造数列，用错位相减法求和可得结果.解决第（3）问的关键是利用条件表达，讨论的取值可比较与的大小． 2．（24-25高三下·天津武清·开学考试）设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求的前2n项和； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可； 【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. （2）由（1）可得， 所以 . （3）， 设， ， ， 两式相减可得， 所以. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果； （3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 4．（2021·天津南开·二模）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和．记，求； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知及等差、等比数列的通项公式求基本量，进而写出和的通项公式； （2）根据已知有，结合（1）即可得； （3）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）设数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列，公比大于0，其前n项和为． 已知，所以，解得，则， 由于，所以，，解得，则. （2）由（1）知：，所以， 所以. （3）由（2）得，设， 所以①，②， ①②得：， 整理得. 5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列是公差为3的等差数列，数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）赋值可得，再由等差数列的基本量法求出通项；由已知等式可得，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）由等差和等比数列的前项和公式求解即可； 【详解】（1）因为数列满足，，， 所以，即，解得， 因为数列是公差为3的等差数列，所以， 所以，即， 所以. （2） 因为数列的前项和为，数列的前项和为， 所以数列的前n项和. 题型三 数列不等式证明：（解答题） 1．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）证明见解析.. 【分析】（1）应用等差数列前n项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到的通项公式及； （2）（i）根据已知得，即得，应用等差、等比前n项和公式及分组求和得，再由能成立求的最大值； （ii）由（i）得，判断其单调性即可得，应用基本不等式及放缩有，应用错位相减法求右侧的前n项和，即可证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 2．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，由题意得，可求出公差，从而可求出，设数列的公比为，再由可求出，从而可求出，进而可求出； （2）（i）由题意可得，则可求出，从而可求出，方法一：利用错位相减法可求出，方法二：对变形后，利用累加法可求出；（ii）当时，可得，则可得，当当时，利用累乘法可求得，从而可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为为等比数列，且，，， 所以， 所以， 解得或(不合题意，舍去)， 又因，所以， 设数列的公比为， 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以． （2）（i），， 数列中的项落在区间中的项数满足， 即， 因为， ， 数列中的项落在区间中的项数为， 所以， 所以， 方法一： ， ， 所以． 方法二：， （ii）当时，，则， 所以 又因为， 所以，解得， 所以当时， 所以 ， 所以， 所以， 综上． 3．（24-25高三下·天津蓟州·开学考试）已知数列的前项和，，，.设数列的前项和为，且， (1)求的通项公式； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再按奇偶讨论求出通项公式. （2）由（1）求出，再按为偶数、奇数分类求和. （3）利用给定的和式，结合裂项相消法求和求出，进而求出并放缩，再利用不等式的性质及等比数列前项和计算推理得证. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减，得，而，则， 由，得，因此数列都是公差为4，首项分别为1，3的等差数列， ，即当为奇数时，； ，即当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. （3）依题意，，而， 因此，解得， 当时，，满足上式，则， 当时，， 当时， ，而， 所以. 4．（24-25高三下·天津·开学考试）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为阶跳跃数列，记． (1)若数列为阶跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值及此时数列的前2025项的和； (2)已知为正整数，数列为阶跳跃数列． ①求的所有不同值的和． ②对任意，令，求证：． 【答案】(1)的最大值为7，8098 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由题意，利用列举法，正整数由小到大逐步检验，根据符合题意的数列存在周期性，可得答案； （2）利用列举法与观察法可得数列的不同取值，表示出，利用等比数列求和公式，由表示出数列的通项，利用裂项相消求和，可得答案. 【详解】（1）因为数列为跳跃数列，且，若， 与对任意矛盾； 若，则， 与对任意矛盾； 若，则， 满足对任意，此时的最大值为， 所以的最小值为3，且时的最大值为7． 由，则数列的周期是6， 数列的前2025项的和为. （2）当时，数列为阶跳跃数列，则，，； 当时，数列为阶跳跃数列，则，，，； 当时，数列为阶跳跃数列，则，，，，； 所以数列中项的可能取值为， 的所有不同的值为：， 所以的所有不同值的和为 ， 因为 ， 所以 所以 5．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用的关系消去得到之间的递推关系后求解； （2）（i）利用组合数的性质，利用倒序相加法处理；（ii）先求出的表达式，然后利用放缩法进行证明. 【详解】（1）由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 【点睛】关键点睛：求解出通项公式是研究数列其他性质的前提，本题多次考到数列和其前项和的关系，常见的处理方法是消去，得出新的递推关系，从而进行化简整理. 题型四 数列不等式求参 （解答题） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. （3）因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 2．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; (3)在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，结合等差数列的定义即可证明，再由等差数列的通项公式即可得到结果； （2）根据题意，先对数列的通项公式进行化简，再由裂项相消法求解的表达式，然后代入计算，求解不等式，即可得到结果； （3）根据题意，先根据数列的通项公式确定与的关系，即可得到的表达式，然后求解不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，， 即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 且. （2） ， 则 ， 由可得，化简可得，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. （3）由可得， 因为当时，， 设，， 则，，，， 所以， 由，即，解得， 且，所以， 当时，，即，所以正整数的最小值为. 3．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 4．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，由累加法可证结论； （2）由累加法可求得，进而可得，结合已知可得，参变分离可求的最大值． （3）由（2）可得，进而利用错位相减法可求得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则． 当时，，满足， 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为， 所以， 当时，满足上式，则． 因为，所以， 整理得． 因为，所以． 因为，所以当且仅当时，等号成立．因为，所以． （3）由（2）可得， 则． 设， 则， 所以， 所以，即． 因为对任意的，都有， 所以，即． 当为奇数时，，所以， 易证为递减数列，则； 当为偶数时，，所以， 易证为递增数列，则． 综上，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于第三问，关键在于利用错位相法求得，进而分类讨论可得或，分类讨论是种常用方法. 5．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列中，，且前项和为. (1)求数列的通项公式与数列的前项之和 . (2)若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式与数列的前项之和的表达式； （2）利用裂项相消法求出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ①， 又因为②， 联立①②可得，，所以，， 所以，. （2）因为， 所以， ， 因为，所以，， 因为二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 又因为，故当时，取最小值， 且其最小值为，则， 因此，负整数的最大值为. 题型五 下标数列不等式 （解答题） 1．（24-25高二上·天津·期末）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且 (1)求数列数列的通项公式； (2)设，. ①证明：当 时， ； ② ，求 . 【答案】(1)， (2)①证明见解析 ② 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式计算求解即可； （2）①时，利用作差法证明即可 ②根据数列的通项公式，利用分组求和，可通过等比数列的求和公式、裂项相消法分别求和即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公差为， ， ， ， ，， . （2）由题意， ①是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时， 要证，即证：， 作差，，得证. ② 由①知，， ， ， 又， ， . 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数列通项公式的理解，由于通项公式为分段函数的形式，准确理解项数为时，对应的项的规律，当项数不是时对应项的规律，再由分组求和的思想，利用等比数列求和、裂项相消求和得解. 2．（23-24高三上·天津·期末）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； (3)，数列前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； (2)求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出； (3)设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论. 【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差， ∵，即，∴，（舍去），， ∴．； （2）， 其中， ∴，，集合， 设，， 所以当时，， 当时，， 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，； （3），， 设①， ②， 上式①-②得， ， 所以， 当n为奇数时，， 则 ， . 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 3．（24-25高二上·天津和平·期末）设函数，数列满足，（，且） (1)求数列的通项公式 (2)设，求 (3)是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）分和两种情况利用等差数列求和公式可求得； （3）由，知数列中每一项都不可能是偶数，分或时，当和时，计算可求得，结合等差数列的通项公式可求得，即可得出结论. 【详解】（1）因为， 所以．因为， 所以数列是以1为首项，公差为的等差数列． 所以． （2）①当时， ②当时， 所以 （3）由，知数列中每一项都不可能是偶数． ①如存在以为首项，公比为2或4的数列，， 此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列． ②当时，显然不存在这样的数列． 当时，若存在以为首项，公比为3的数列，． 则，， ， 所以满足条件的数列的通项公式为 【点睛】方法点睛：解题第（2）问的方法是分奇偶应用等差数列的前n项和公式求解. 4．（24-25高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，. (1)求数列的通项公式及； (2)设，求的最小值，并求取得最小值时的值； (3)设其中，求. 【答案】(1) (2)当时，取得最小值 (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）得，结合基本不等式的应用和即可求解； （3）当时，则数列是等差数列，进而，进而，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 故数列的通项公式，. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， ，当时，；当时，， 所以当时，A取得最小值. （3）当时，， 当时，，可知数列是等差数列， ， . 5．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，使，，，…，，成等差数列. （i.）求； （ii）求的值. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可； （ⅱ）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． （2）（ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 【点睛】易错点睛：计算插入项时的公差处理：插入项的公差是根据相邻两项之间的差异来确定的，计算时需要注意公式中的每一项，尤其是分母部分. 求和时的简化错误：在求和过程中，要特别注意求和的形式，避免在处理递推关系和求和公式时出现计算上的疏漏. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押09 数列综合第19题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 数列综合 2024年天津卷第19题 2023年天津卷第19题 2022年天津卷第19题 天津高考连续三年，数列大题是副压轴题。考察知识点较多，考察的数学方法技巧灵活，难度较大。数列大题考察，多是三问，第一问是较为基础的等差等比运算，属于送分的一问。第二问和第三问，则以数列求和和数列不等式证明为主，难度大，知识层的高。 预测2025年天津高考，在等差等比求通项的计算基础上，继续考察数列求和，与数列不等式，数列求和考察复杂的分段求和，形式多样的列项求和，以及综合性较高的“插入数型”求和，考察新数列、插入数型数列、下标数列等各种数列不等式证明和恒成立（能成立）求参型。 题型一 数列求和：分段型 （解答题） 1．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和，是公比大于的等比数列，且满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)对任意的正整数，设数列求． 4．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 5．（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 题型二 数列求和：奇偶相间型 （解答题） 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 2．（24-25高三下·天津武清·开学考试）设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求的前2n项和； (3)求数列的前项和. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 4．（2021·天津南开·二模）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和．记，求； (3)求． 5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列是公差为3的等差数列，数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 题型三 数列不等式证明：（解答题） 1．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 2．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 3．（24-25高三下·天津蓟州·开学考试）已知数列的前项和，，，.设数列的前项和为，且， (1)求的通项公式； (2)求； (3)求证：. 4．（24-25高三下·天津·开学考试）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为阶跳跃数列，记． (1)若数列为阶跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值及此时数列的前2025项的和； (2)已知为正整数，数列为阶跳跃数列． ①求的所有不同值的和． ②对任意，令，求证：． 5．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 题型四 数列不等式求参 （解答题） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 2．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; (3)在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 的最小值. 3．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 5．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列中，，且前项和为. (1)求数列的通项公式与数列的前项之和 . (2)若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 题型五 下标数列不等式 （解答题） 1．（24-25高二上·天津·期末）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且 (1)求数列数列的通项公式； (2)设，. ①证明：当 时， ； ② ，求 . 2．（23-24高三上·天津·期末）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； (3)，数列前项和为，求证：. 3．（24-25高二上·天津和平·期末）设函数，数列满足，（，且） (1)求数列的通项公式 (2)设，求 (3)是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由 4．（24-25高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，. (1)求数列的通项公式及； (2)设，求的最小值，并求取得最小值时的值； (3)设其中，求. 5．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，使，，，…，，成等差数列. （i.）求； （ii）求的值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$