精品解析：2025年河北省邢台市中考一模数学卷

2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图，若，则在数轴上表示实数的点，会落在（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴．计算出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【详解】解：∵， ∵ ∴在数轴上表示实数的点，会落在段③上． 故选：C． 2. 如图，若有一条线段与线段成轴对称，则这条线段可以是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据“沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形，”进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义得：线段与线段成轴对称， 故选：D． 3. 如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（　　） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线作图以及定义，根据尺规作图的痕迹即可判断． 【详解】解：由作图的痕迹可知：点D是线段的中点， ∴线段是的中线． 故选：D． 4. 如图所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图所示的几何体，则下列说法正确的是（　　） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三视图均不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：图和图中，从左面看都是有两列，且左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形，因此左视图不变． 故选：B． 5. 已知，表示整式，则是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 6. 若，则的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据题意可得，则可变形得到，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图-1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示．根据以上信息，图-1中的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键． 【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示： 获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是， 如图-1所示： ， 故选：C． 8. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先由得到，然后合并求解即可． 【详解】 ． 故选：D． 9. 如图，草船借箭是一个流行很广的故事．按照这个故事所说的，我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘，回来清点发现小船平均每艘上借的“箭”约有4800支，大船平均每艘上借的“箭”约有6200支，已知一共借箭112800支，设派出大船艘，则下列说法正确的是（　　） A. 依题意得： B. 依题意得： C. 派出大船8艘 D. 派出小船14艘 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设派出大船艘，则派出小船艘，根据“一共借箭112800”支列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：依题意，得， 解得， ， ∴派出大船12艘，派出小船8艘， 故A、C、D选项错误，B选项正确． 故选：B． 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A. SAS， B. SSS， C. SAS， D. SSS， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：垂直平分， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故选：B． 11. 小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 有一个根是 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和根的判别式．先求出，再根据判别式得到，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 对于方程， ∵， ∵， ∴方程根的情况是有两个实数根， 故选：C 12. 如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出六边形的每个内角为，再结合度所对的直角边是斜边的一半，得，，运用勾股定理算出，，然后证明，代入数值得，，结合进行计算，即可作答． 【详解】解：过点作，延长交直线于一点，如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴六边形的内角和， 则六边形的每个内角为， ∵ ∴ 则 ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算出，得出，从而可计算出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 15. 如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接交于点，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理求出，进而得到，根据当直线运动到点或点时，最小，最小值为，当直线运动到与重合时，最大，最大值为，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， 当直线运动到点或点时，最小，最小值为， 当直线运动到与重合时，最大，最大值， ， 正整数的值是， 故答案为：． 16. 如图，已知点和点均在双曲线上，点横坐标为，连接交轴于点，点的横坐标为，用的代数式表示___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数表达式等知识．解题关键是利用点在函数图象上的性质求出函数表达式，再根据点的坐标同时满足直线与双曲线建立等式求解． 先将点坐标代入双曲线求出，确定双曲线表达式，利用点、坐标，通过待定系数法求出直线表达式，因为点既在双曲线上又在直线$AB$上，联立方程求解，结合得出关于的表达式． 【详解】∵点在双曲线上， 将代入双曲线得 ， ∴双曲线解析式为． 设直线的表达式为． ∵点，在直线上， 将这两点坐标代入得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵点B的横坐标为t，且点B在双曲线上，同时点也在直线上， ∴． 整理得 ， ∴或 ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． （1）若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； （2）若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，不等式的性质等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）利用不等式的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 理由如下：由题意得， 18. 图表示地铁在①站发车人数及②站、③站变化人数． （1）用的代数式表示②站的发车人数； （2）③站发车时，求地铁上最少人数． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）用①站发车人数减去②站下次的人数，即可求解； （2）②站的发车人数加③站的上车人数，并将其整理、配方，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ②站的发车人数为人； 【小问2详解】 ， ③站的发车人数最少有人． 19. 有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． （1）求牌面数字的中位数； （2）若抽牌一次，求从跑到的概率； （3）若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点的概率． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用列表法和画树状图求概率． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）先得出抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D，然后根据概率公式计算即可． （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从小到大排列为：1，2，3 ∴中位数为：3． 【小问2详解】 解：抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D， 因此（从跑到）． 【小问3详解】 解：列表如下： 1 2 3 1 / 3 4 2 3 / 5 3 4 5 / 一共有六种等可能结果，其中和为4时能回到A点，一共有两种等可能结果 因此（两次跑圈后回到点）． 20. 操作与探究：两个边长均为1的正方形纸板按图-1所示位置放置，嘉嘉沿两条虚线将纸板剪开，发现可以拼成一个大正方形，如图-2所示． 变式1：边长为2的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-3所示位置放置，淇淇沿虚线和另一条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-3中画出另一条虚线，并直接写出的长． 变式2：边长为3的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-4所示位置放置，亮亮沿两条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-4中画出这两条虚线，若其中一条虚线把正方形纸板分割成两块纸板，求较小块纸板的面积． （注：纸板不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 【答案】变式1：作图见解析，；变式2：作图见解析，较小块纸板的面积为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．变式1，正确理解题意，根据正方形的性质即可解答；变式2，根据正方形的性质，证明，得出线段的比例关系，进而得，求出即可解答． 【详解】变式1： ，， 拼成的大正方形面积为， 拼成的大正方形边长为， 如图所示，另一条虚线为，； 变式2： ，， 拼成的大正方形面积为， 拼成的大正方形边长为， 如图所示，两条虚线为和， ，， ， ， ， 设交于点，由，得， 正方形纸板的边长为1，即， ，即， ， ， ，即较小块纸板的面积为． 21. 如图．在平面直角坐标系中，，，直线经过点、，直线与直线相交于点，直线与直线、分别相交于点点． （1）求直线的解析式； （2）若点的横坐标与纵坐标均为整数，求的值； （3）当时，点在点的正上方，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、两条直线相交问题． （1）用待定系数法可得直线的解析式； （2）设点横坐标为，先求出的取值范围，再根据点的横坐标与纵坐标均为整数，求出满足条件的点坐标，即可求出的值； （3）由已知可得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 已知点，在直线上， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：与轴相交于点， 直线上，当时，则有，解得 设点横坐标为， ， ， ∵点的横坐标与纵坐标均为整数， 当时，， 当时，， 的坐标为或， 当在时，即， 解得， 当在时，即， 解得， 的值为或； 【小问3详解】 解：把代入求得， 把代入得，， 若对任意的，都有点在点的正上方， ， 解得， 的取值范围是． 22. 如图-1，一个细水杯的主视图为矩形，其内有液体，液面近似，液面的最低点即为的中点，所在圆的圆心为，． （1）连接、，已知，求的长； （2）如图-2，已知交于点，连接并延长交于点，，，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由题意知，，，进而得，，证明是等边三角形，得，再根据弧长公式计算即可得的长； （2）由得是的直径，连接交于M点，由垂径定理得，证明是的中位线，得，由勾股定理得，，再由中位线的性质得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， ， 等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， 是的直径， 连接交于M点， ， ， ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，垂径定理，中位线性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． （1）求点的横坐标； （2）若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； （3）若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 【答案】（1）2 （2）6或 （3）或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征，有一定的综合性，运用数形结合、分类讨论的思想是解决第(2) (3)小题的关键． （1）将化成顶点式即可求解； （2）将点代入求出，进而可得其对称轴为， 当时，即时，，当时，即，，分别求解即可； （3）分两种情况：①当时，抛物线经过点时，可得；②当时，抛物线过点时结合性质可得，又，即可求解． 【小问1详解】 解： 的坐标为， 点的横坐标为2； 【小问2详解】 解：当时，， 解之得，， 所以其对称轴为， 由题意知最大值为， 当时，即时， ， 解得（舍去）， 当时，即，， 解得不合题意舍去． 综合以上可得的值为6或． 【小问3详解】 解：①当时，由题意，即， 当抛物线经过点时， ，解得． 又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧， ； ②当时，抛物线过点时可得，又，即， 综上所述：的取值范围为或． 24. 如图-1，在矩形中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，过点作平分交边于点，连接．已知：，设． （1）求证：； （2）连接、，若时，求； （3）若点落在内部，求的取值范围； （4）如图-2，在边上取点，使得，做射线，当在射线的上方时，直接写出用的代数式表示点到射线的距离． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合旋转的性质得到，再结合角平分线定义证明，利用全等三角形性质证明，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，结合角的运算得到，利用等腰三角形性质推出，再结合矩形性质求解，即可解题； （3）根据点落在内部，讨论当点落在上时，结合矩形性质，以及相似三角形的性质和判定得到的取值，当点落在上时，过点作于点，同样结合矩形性质，以及相似三角形的性质和判定得到的取值，即可得到的取值范围； （4）连接交于点．则由（3）同理可得于点，利用勾股定理得到，结合等面积法求出，进而得到，作于点，证明，利用相似三角形性质求出，，延长交延长线于点，过点作交延长线于点，结合矩形性质和等腰三角形性质求出，过作于点，再利用解直角三角形求出，即可解题． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， 平分 ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ； 【小问3详解】 解：当点落在上时， ， 于点， ，， ， 又， ， 在矩形中，，， ， ， ； 当点落在上时，过点作于点， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 若点落在内部时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：. 理由如下：连接交于点．则由（3）同理可得于点， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， 延长交延长线于点， 过点作交延长线于点， 在矩形中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于点， ， ， 点到射线的距离为． 【点睛】本题考查了矩形性质，旋转的性质，角平分线定义，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图，若，则在数轴上表示实数的点，会落在（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 2. 如图，若有一条线段与线段成轴对称，则这条线段可以是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（　　） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 4. 如图所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图所示的几何体，则下列说法正确的是（　　） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三视图均不变 5. 已知，表示整式，则是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 7. 某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图-1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示．根据以上信息，图-1中的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，草船借箭是一个流行很广的故事．按照这个故事所说的，我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘，回来清点发现小船平均每艘上借的“箭”约有4800支，大船平均每艘上借的“箭”约有6200支，已知一共借箭112800支，设派出大船艘，则下列说法正确的是（　　） A. 依题意得： B. 依题意得： C. 派出大船8艘 D. 派出小船14艘 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A. SAS， B. SSS， C. SAS， D. SSS， 11. 小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 有一个根是 12. 如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则___________ 14. 计算：__________． 15. 如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是___________ 16. 如图，已知点和点均在双曲线上，点的横坐标为，连接交轴于点，点的横坐标为，用的代数式表示___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． （1）若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； （2）若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 18. 图表示地铁在①站发车人数及②站、③站变化人数． （1）用的代数式表示②站的发车人数； （2）③站发车时，求地铁上最少人数． 19. 有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． （1）求牌面数字的中位数； （2）若抽牌一次，求从跑到的概率； （3）若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点概率． 20. 操作与探究：两个边长均为1正方形纸板按图-1所示位置放置，嘉嘉沿两条虚线将纸板剪开，发现可以拼成一个大正方形，如图-2所示． 变式1：边长为2的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-3所示位置放置，淇淇沿虚线和另一条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-3中画出另一条虚线，并直接写出的长． 变式2：边长为3的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-4所示位置放置，亮亮沿两条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-4中画出这两条虚线，若其中一条虚线把正方形纸板分割成两块纸板，求较小块纸板的面积． （注：纸板不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 21. 如图．平面直角坐标系中，，，直线经过点、，直线与直线相交于点，直线与直线、分别相交于点点． （1）求直线解析式； （2）若点的横坐标与纵坐标均为整数，求的值； （3）当时，点在点正上方，求的取值范围． 22. 如图-1，一个细水杯的主视图为矩形，其内有液体，液面近似，液面的最低点即为的中点，所在圆的圆心为，． （1）连接、，已知，求的长； （2）如图-2，已知交于点，连接并延长交于点，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． （1）求点的横坐标； （2）若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； （3）若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 24. 如图-1，在矩形中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，过点作平分交边于点，连接．已知：，设． （1）求证：； （2）连接、，若时，求； （3）若点落在内部，求的取值范围； （4）如图-2，在边上取点，使得，做射线，当在射线的上方时，直接写出用的代数式表示点到射线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$