精品解析：江西省南昌中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

南昌中学2024—2025学年度下学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列有关数列的说法正确的是（ ） ①数列与数列是同一数列； ②数列的第项是； ③数列中的每一项都与它的序号有关. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于①，数列与数列的顺序不一样，故不是同一数列； 对于②，数列的第项，即把代入，故数列的第项是； 对于③，根据数列的定义，数列中的每一项都与它的序号有关； 故选：B 2. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性直接判断即可. 【详解】函数，，在上都是单调递增的，BCD不是； 函数在上单调递减，A是. 故选：A 3. 将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（ ）． A. 公比为q的等比数列 B. 公比为的等比数列 C. 公比为的等比数列 D. 不一定是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 4. 已知曲线在点处切线的斜率为8， A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】y′=4x3+2ax 由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D. 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可排除A、D；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论. 【详解】因为，故排除A、D； 令 在是减函数, 在是增函数, 存在，使得 单调递减， 单调递增, 所以选项B错误，选项C正确. 故选：C 7. 函数有3个零点的充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数有3个零点的充要条件为且，逐个选项分析其是否为且的充分不必要条件即可得. 【详解】，有， 若有三个零点，则有且， 故函数有3个零点的充要条件为： 且， 对A：，且，则当时，有，不符，故A错误； 对B：可能，不符，故B错误； 对C：且，则，不符，故C错误； 对D：，且，则， 即由，且能得到且， 但且并不意味着，且， 故，且是且的充分不必要条件， 即是函数有3个零点的充分不必要条件，故D正确. 故选：D. 8. 已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为 A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2] 【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据化简得到答案. 【详解】根据题意：. 设，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故. 根据，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得，进而依次验证各项即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，A正确； ，B错误； ，C正确； ，，，D错误. 故选：AC. 10. 下面说法不正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 若曲线在点处有切线，则必存在 C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D. 若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定可得答案. 【详解】对于A，若不存在，则曲线在点不一定没有切线， 例如，函数，可得在的导数不存在， 但曲线在该点处的切线方程为，故A错误； 对于B，若曲线点处有切线，则不一定存在， 例如，函数，可得在的切线方程为， 但不存在，故B错误； 对于C，若不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义， 可得曲线在点处的切线斜率不存在，故C正确； 对于D，若曲线在点处没有切线，则一定不存在，故D错误. 故选：ABD. 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知函数，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义以及极限的性质求解即可. 【详解】， 则. 故答案为：. 13. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为2的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为_______ 　 【答案】 【解析】 【分析】先明确每段圆弧的圆心角，再找出圆弧半径所构成的等差数列，然后利用等差数列求和公式求出半径总和，最后结合弧长公式计算出“蚊香”的长度． 【详解】已知每段圆弧的圆心角为． 题目中表明第一段圆弧到第段圆弧的半径构成等差数列． 当“蚊香”恰好有9段圆弧时，该等差数列的首项，末项，项数．  根据等差数列求和公式可得这9段圆弧半径的总和为．  所以“蚊香”的长度为．  故答案为：． 14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可. 【详解】由得，所以，则， 因为，，，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以由，即，得， 所以，所以． 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数. （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意结合导数的四则运算法则运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知数列为等比数列． （1）若，且求的值； （2）若求数列的通项公式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，即可得结果； （2）根据题意结合等比数列性质可得，设数列的前3项依次为，结合题意列式求解即可. 【小问1详解】 因为，则，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 17 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性； （2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可. 【小问1详解】 因为，故可得， 令，可得或； 当时，，此时在上单调递增； 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增 又，，故在单调递减，在单调递增. 则的最小值； 又， 当时，的最大值， 此时； 当时，的最大值， 此时， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以； 所以的取值范围为. 18. 已知，函数，. （1）若，求函数的极值； （2）设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值. 【答案】（1）极大值，极小值 （2）. 【解析】 【分析】（1）求出时的函数解析式，再求导，利用导数可得函数的单调性，进而可得函数的极值； （2）利用基本不等式结合已知条件可得，的值，从而可得的解析式，化简，利用导数可得其最大值，从而可得的取值范围，进而可得的最大值． 【小问1详解】 当时，， ，， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增. 在处取得极大值， 在处取得极小值. 【小问2详解】 由题意，得，则， 当且仅当时，等号成立. ，解得， 所以.又恒成立， 设 所以. 令，则，即， ，， 因， 所以在上单调递减. 所以. 所以最大的实数. 19. 若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列． （1）若为好数列，且，请写出所有可能的取值； （2）若为好数列，且，求最大的可能值； （3）证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有． 【答案】（1），18或41 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据的定义即可求解； （2）根据可得，即可根据迭代得到，进而可得，即可求解； （3）由，对进行分奇数和偶数讨论，即可结合好数列的定义求解. 【小问1详解】 则或21， 当时，；当时，或41， 综上，，18或41 【小问2详解】 因为，故，故，故 故， 故． 此时，经检验满足要求． 故最大为 【小问3详解】 由于为正整数列，故其中必存在一项为整个数列中最小的正整数，设其为． 若为奇数，则，得到，故．归纳可得此时为常数列，满足题意． 若为偶数，则为奇数，故得到． 故或4． 若，则，且 取，对，都有，满足题意 若则，且 取，对，都有，满足题意 综上所述，存在，满足题意． 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌中学2024—2025学年度下学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列有关数列的说法正确的是（ ） ①数列与数列是同一数列； ②数列第项是； ③数列中的每一项都与它的序号有关. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 2. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（ ）． A. 公比为q等比数列 B. 公比为的等比数列 C. 公比为的等比数列 D. 不一定是等比数列 4. 已知曲线在点处切线的斜率为8， A. B. C. D. 5. 已知等比数列前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数有3个零点的充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 8. 已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为 A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 10. 下面说法不正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 若曲线在点处有切线，则必存在 C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D. 若曲线点处没有切线，则有可能存在 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知函数，则_______ 13. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为2的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为_______ 　 14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数. （1） （2） 16. 已知数列为等比数列． （1）若，且求的值； （2）若求数列的通项公式． 17 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围. 18. 已知，函数，. （1）若，求函数的极值； （2）设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值. 19. 若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列． （1）若为好数列，且，请写出所有可能的取值； （2）若为好数列，且，求最大的可能值； （3）证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$