精品解析：安徽省合肥市庐江县柯坦中学2024-2025学年下学期4月八年级期中数学试题

柯坦中学八年级下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质；熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解决问题的关键．由菱形的性质和平行四边形的性质，容易得出结果． 【详解】A、对角线互相平分菱形和平行四边形都具有； B、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有； C、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有； D、对边平行且相等，菱形和平行四边形都具有； 故选：C． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质“”化简即可． 【详解】解：若， ∴， 解得，， 故选：D ． 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据坐标可得，，，推出，利用勾股定理计算，结合点的位置确定坐标即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 点的坐标为， 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，若，，则的长为（ ）    A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解题关键是根据三角形内角和求出内角的度数，或根据三角形的三边长判断是否是直角三角形． 【详解】解：A. ∵ ， ∴，符合题意； B. ∵， ∴，不符合题意； C. ∵， ∴，不符合题意； D. ∵，设， ∴，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．由矩形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，是等腰三角形， 故选∶B． 8. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定等。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即A选项符合题意， 当时， ∴， ∴四边形是菱形，即B选项不符合题意， 当时，， ∴， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当平分时，如图，延长，交于点， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意， 故选：A 9. 如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键． 根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴， ∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 10. 如图，在中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，过点A作，垂足为E，由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理建立方程即可得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ， ，， ∴， ， ． 在中， ， 在中， ， ， 即代数式的值不变． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 12. 在平行四边形中，比大，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景得图形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，（负值舍去），，由勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，大正方形的面积是169， ∴， 解得，（负值舍去）， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是， 故答案为： ． 14. 如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接，． （1）______； （2）连接，交于点E，则的长为______． 【答案】 ①. 15 ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理． （1）根据正方形的性质和等边三角形的性质得，，，进而得，，再由可得答案； （2）过点E作于点F，由（1）可得，，设，则，由勾股定理得，进而得，再根据可得关于x的方程，解方程即可进一步求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ， ， ， 故答案为：15； （2）如图，过点E作于点F， 由（1）可得，， 设，则， 则，， ， 解得， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，图中已标注了5个格点． （1）在图中以格点为顶点，画一个等腰三角形，并使其内部含有已标注的3个格点； （2）在图中以格点为顶点，画一个正方形，使其边长不是有理数，并使其内部含有已标注的3个格点； 【答案】（1） 根据勾股定理和等腰三角形的定义，画图如下： 则都是所求． （2） 根据正方形的判定，勾股定理计算画图如下： 【解析】 【分析】(1)根据等腰三角形的判定，勾股定理计算画出即可，答案不是唯一的． (2)根据正方形的判定，勾股定理计算画出即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的判定，熟练掌握勾股定理，正方形的判定是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在菱形中，E是延长线上的一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】略 18. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）； （2）这块空地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，结合勾股定理得出，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平行四边形中，，，， ， ， ， 20. 古代护城河上有座吊桥，图是它的结构原理图，图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． （1）若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】（1）从到定滑轮，再到点拉着的绳长为； （2）桥面的宽为． 【解析】 【分析】（）由题意知，，根据勾股定理求出，，求出即可得从到定滑轮，再到点拉着的绳长； （）根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽； 本题考查勾股定理的应用和矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴， 由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴从到定滑轮，再到点拉着的绳长为； 【小问2详解】 解：由（）知，， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴桥面的宽为． 六、（本题满分12分） 21. 先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）____________； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； （3）应用（2）中结论，请计算的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律求解即可； （2）找出第个等式的左边为，右边为与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【小问1详解】 解：， 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 七、（本题满分12分） 22. 定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． （2）如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】（1） （2） 证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 如图，在四边形中，点分别在边上．连接． （1）如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； （2）如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【答案】（1） ①证明：如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． ② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键． （1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解； ②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可； （2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②设， 由题意和①得，，，，， 在中，， ， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯坦中学八年级下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行且相等 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，若，，则的长为（ ）    A. B. C. 8 D. 10 6. 已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 8. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当平分时，四边形是矩形 9. 如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 在平行四边形中，比大，则__________． 13. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是______． 14. 如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接，． （1）______； （2）连接，交于点E，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，图中已标注了5个格点． （1）在图中以格点为顶点，画一个等腰三角形，并使其内部含有已标注的3个格点； （2）在图中以格点为顶点，画一个正方形，使其边长不是有理数，并使其内部含有已标注的3个格点； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在菱形中，E是延长线上的一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 18. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 古代护城河上有座吊桥，图是它的结构原理图，图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． （1）若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 六、（本题满分12分） 21. 先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）____________； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； （3）应用（2）中结论，请计算的值． 七、（本题满分12分） 22. 定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． （2）如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在四边形中，点分别在边上．连接． （1）如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； （2）如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $