精品解析：江苏省泰州市姜堰区2025届高三第二次适应性调研测试数学试题

2025届高三第二次适应性调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 210 B. 35 C. 40 D. 120 6. 在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A. 4 B. C. D. 6 7. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点，且，其中，则 10. 对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最小值为1 C. 的最大值为2025 D. 的最大值为2024 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（ ） A. 勒洛四面体表面上任意两点间距离最大值大于3 B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C. 勒洛四面体四个曲面交线长的和为 D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则________． 13. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为．若存在球与正三棱台的5个面同时相切，求： （1）正三棱台的体积； （2）正三棱台的表面积． 16. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求的值． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； （3）若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 18. 某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． （1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ （2）若A套餐拟提供2种品类素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； （3）设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 19. 设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的． （1）如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值； （2）已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项； （3）设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第二次适应性调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义，直接求解即可得解. 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：A 2. 已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得出，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以复数的虚部为. 故选：C. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出准线方程. 【详解】抛物线方程为：， 所以所求准线方程为. 故选：B 4. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 5. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 210 B. 35 C. 40 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 6. 在等边中，，P为所在平面内一个动点，若，则的最大值为（） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，假设点的坐标，进而可表示成关于角的三角函数，结合辅助角公式及正弦函数的图象可求其最大值. 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上，设 为等边三角形，， ， ， ， 当，即时，， 故选：B. 7. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再设出点的坐标，并表示出点，将三角形面积表示为的函数，借助对勾函数的性质求出范围. 【详解】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1， 由两圆相切，得，整理得， 设，由，得， 而点在上，则，整理得， 直线，的倾斜角为，则， 的面积， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此， 所以面积的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由推理得到，又由函数极值点定义，由得到代入化简即得． 【详解】对于A，当时，， 由，可得或，由，可得， 故函数在和上单调递增；在上单调递减． 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 若有三个零点，则，解得，故A正确； 对于B，当且时，， 因为，所以， 由A函数在上单调递减，故，故B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D，由求导得，， 依题意，，可得① 由，可得， 由于，化简得② 将①代入②式，可化简得：， 即，因，故得，即D正确． 故选：ABD． 10. 对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最小值为1 C. 的最大值为2025 D. 的最大值为2024 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，先计算前几个连续数的结果，总结规律，根据规律，可得答案. 【详解】对于，对于连续四个奇数，，由题意运算，其结果最小值为； 同理，对于连续四个偶数，，由题意运算，其结果最小值为， 在1到2025的2025个整数中有1013个奇数和1012个偶数，，， 由，经过计算最小值为，且，经过计算最小值为，则的最小值为； 除2025外，前2024个数中有1012个奇数和1012个偶数，前2024个数经过计算最小值为0， 所以的最大值为2025. 故选：BC 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（ ） A. 勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3 B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C. 勒洛四面体四个曲面交线长的和为 D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出过正四面体相对棱中点的勒洛四面体的弦长判断A；作出截面，利用扇形面积与三角形面积公式求解B；利用弧长公式求出四个曲面交线长判断C；借助正四面体求出勒洛四面体内切球半径判断D. 【详解】对于A，分别为正四面体的棱的中点，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点， ，则等腰的高， 等腰的高， 由对称性知，，则， 而勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值不小于长，A正确； 对于B，勒洛四面体被平面截得的截面是3个弓形加上， 面积为，B错误； 对于C，由对称性知，勒洛四面体四个曲面的每条交线长相等， 其中交线所在圆的圆心在以中点为圆心，则该圆半径， 由余弦定理得，， 因此勒洛四面体四个曲面交线长的和为，C错误； 对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径即为该四面体内切球半径， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 令正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径，点均在以点B为球心的球面上， 则，勒洛四面体内切球半径，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式两边平方后，确定的正负，从而确定的正负；结合韦达定理即可求得. 【详解】由题可知，两边平方可得：，解得， 又，故，则； 故为方程的两根，则，解得或，则. 故答案为：. 13. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式分析可得数列（）是以为公比的等比数列，然后利用累加法结合等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况： 若甲胜，则甲得分变为，对应概率为， 若乙胜，则甲得分变为，对应概率为， 若平局，则甲得分保持，对应的概率为， 所以由全概率公式可得， 所以，， 所以（）， 所以数列（）是以为公比的等比数列， 所以， 所以，，， ，， 所以 , 所以， 所以， 因为，，所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为．若存在球与正三棱台的5个面同时相切，求： （1）正三棱台的体积； （2）正三棱台的表面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组，进而求出棱台的体积. （2）利用（1）的信息，利用正棱台的表面积公式求解. 【小问1详解】 在正三棱台中，取BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 连接，设，内切球半径为r，则，棱台的高为2r， 于是，，同理， 由内切球与平面相切，切点在上，得， 在等腰梯形中，，则（*）， 在梯形中，， 所以，解得，带入（*）式可得，， 因此棱台的高，棱台的体积为． 【小问2详解】 由（1）知，在正三棱台中，，斜高， 所以正三棱台的表面积 16. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式及辅助角公式求出最大值. （2）由正弦定理边化角，再用和角的余弦公式化为求解即得. 【小问1详解】 由，，得，而， 由余弦定理得，则， 于是的面积， 整理得，其中锐角由确定， 而，则，因此，当且仅当时取等号， 由，解得，所以面积的最大值. 【小问2详解】 由，，得，由正弦定理得， 又 ， 整理得，而，所以. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； （3）若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （2）分别设出直线，的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出，进而解方程求解即可； （3）由韦达定理及斜率公式可得，再由差角正切公式及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 当直线的斜率为1时，直线的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，直线， 联立，可得， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. 【小问3详解】 因为直线、的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 18. 某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． （1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ （2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； （3）设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 【答案】（1）认为员工对于A套餐满意程度与套餐的改善没有关系 （2）最大值为，此时或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据求出的观测值，再与临界值比对解. （2）利用古典概率、结合组合计数问题求出的表达式，构造数列并判断单调性求出最大值. （3）根据题干中信息求出与的关系，再利用构造法求出通项. 【小问1详解】 零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关， 由已知数据计算， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受， 因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系. 【小问2详解】 依题意，，令， ，当且仅当时取等号， 当时，，当时，，即当时，数列单调递减， 于是， 所以的最大值为，此时或. 【小问3详解】 由员工小李第n天选择B套餐的概率为，得员工小李第n天选择A套餐的概率为， 因此，而， ，又，因此，所以. 19. 设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”． （1）如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值； （2）已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项； （3）设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，利用定义推理可得，求解方程并验证即得. （2）利用定义求出首项，结合递推公式求解，并借助反证法推理求得通项公式. （3）设分别表示的前项和，利用给定的定义，结合前和与第的关系推理求出最小值. 【小问1详解】 设， 则由，解得， 又， 而，因此，解得. 当时，； 当时，， 当时，， 即，符合题意， 所以或. 【小问2详解】 由是由“生成”的，是由“生成”的， 得，则， 于是或，而，因此， 若，则，， 若，且， 假设是第一个使不同时为0的整数，则， 此时，而，则，矛盾， 从而不存在使不同时为0的整数， 所以. 【小问3详解】 设分别表示的前项和， 即分别是由-生成"的， 由，得； 当时，. 于是，同理， 而，则， ，， . 所以，， 令，则， ，， 因此， 所以取到最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$