精品解析：2025届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟数学试卷

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题 卷 银川一中第二次模拟考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 11 4. 设函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若随机变量，则 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 10. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 11. 如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为__________. 13. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 14. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间， （2）若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 16. 已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为线段上一点． （1）求证：； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数， （1）若，求的单调区间； （2）当时，求证； （3）若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围． 19. 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题 卷 银川一中第二次模拟考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的坐标表示和垂直关系求解. 【详解】， 因为，所以. 故选：D 4. 设函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数结合指数不等式及对数不等式即可得出解集. 【详解】因为则不等式的解集 或， 或， 所以或 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B 6. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围. 【详解】若方程， 则，即或， 当时，， 则的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以， 解得， 即的取值范围是， 故选：A. 7. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公式计算得解. 【详解】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点，，则， ，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 且，因此， 该正四棱台的体积为. 故选：D 8. 已知函数，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，因为，所以，两边平方后化简即可. 【详解】函数定义域为， ， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令，则且在上单调递增； 函数在时单调递减，在时单调递增， 故当时等号成立，此时； 又在上单调递增； 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 两边平方得，即 若，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将函数变形为，判断出函数的图象关于直线对称，以及在上单调递减，在上单调递增是解决本题的关键. 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若随机变量，则 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【答案】BD 【解析】 【分析】A将数据从小到大排列，再找寻第百分之七十五位数即可；B利用公式及二项分布的方差公式；C利用正态分布的性质，及的意义；D利用均值和方差的公式即可. 【详解】A.将数从小到大排列，共8个数，则，则上四分位数为，故A错误； B. ，故B正确； C. ，由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； D. 设原数据为，因平均数为5，方差为3， 则，， 则新数据的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 11. 如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求解曲线方程后，利用过原点求得，可判断A；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，可判断B；利用基本不等式求解的范围，即可求解周长范围，判断C；根据面积公式，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】由定义，即， 即，该曲线过原点，所以， 又，所以，故选项A正确； 故方程为， 所以曲线C的方程为， 直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为， 即时，无解， 故，即实数的取值范围为，故B错误； 由，仅当时等号成立， 此时点P在的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三角形， 所以，所以周长， 等号取不到，故C错误； ， 当且仅当，等号成立，此时点P的纵坐标为， 方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 故面积能取到最大值，故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径可求得点的坐标，即可求得结果. 【详解】设，由抛物线可得， 抛物线上点到焦点的距离等于3， ，解得， ， 点M到坐标原点的距离为 故答案为： 13. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线  ，则，直线  斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为  为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则  取最小值为9. 故答案为：9. 14. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 而基本事件的总数为 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间， （2）若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【小问1详解】 函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 16. 已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干的条件以及联立方程即可求得结果. （2）设出直线方程，代入椭圆方程中，利用韦达定理和弦长公式求出，再求出点到直线的距离，利用面积公式和基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 点代入方程得① 且②，③ 由①②③可解得：，， 所以椭圆 【小问2详解】 直线的方程：，点、． 直线方程代入椭圆得， 由，得 ， 则弦长， 点到直线的距离 面积 当且仅当即时等号成立， 故面积取得最大值时直线的方程为 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为线段上一点． （1）求证：； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接，因为在三棱柱中，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以; （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，再用菱形性质得到，通过面面垂直的性质得到平面，运用线面垂直性质进而证明，最后使用线面垂直定理得证； （2）以的中点为坐标原点，过O作射线,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，记平面的法向量求出和平面的法向量，再根据二面角的余弦公式建立方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以的中点为坐标原点，过O作射线,则可以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则， ， 设， 则， 记平面的法向量， 则， 即， 得， 易得平面的法向量， 由题意：， 解得：或，经验证，或均符合题意． 所以或. 18. 已知函数， （1）若，求的单调区间； （2）当时，求证； （3）若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2） 当时，则，即. 令函数，则， 令函数 易知为增函数，令则， ，根据零点存在定理，则有. 又时，，即，则在上单调递减； 时，，即，则在上单调递增. . 故，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负可得出函数的单调区间； （2）将条件代入，得到函数的不等式，通过导数分析函数的单调性，结合零点的应用得到最值，即可得证； （3）将函数的极值点转化成方程的根，根据和韦达定理求出的关系式及取值范围，利用分离参数将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，求导分析单调性即可求得其最小值，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意，当时，，定义域为， 则， 令，得，解得 所以，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，的定义域为，， 有两个极值点，（）即方程有两个不相等正数根， 则有，解得 因为恒成立，所以对恒成立， 分离参数可得对恒成立， 令，则 令则解得或（舍去）. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故即，是减函数. 所以， 故实数的取值范围是 19. 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，或，，. 【解析】 【分析】（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.； （2）将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式； （3）由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论. 【详解】（1）由， ① 得， ② 由①-②得，即， 对①取得，，所以，所以为常数， 所以为等比数列，首项为1，公比为， 即，； （2）由，可得对于任意有 ， ③ 则， ④ 则， ⑤ 由③-⑤得， 对③取得，也适合上式， 因此，， （3）由（1）（2）可知， 则， 所以当时，，即， 当时，，即在且上单调递减， 故…， 假设存在三项，，成等差数列，其中，，， 由于…，可不妨设，则（*）， 即， 因为，，且，则且， 由数列的单调性可知，，即， 因为，所以， 即，化简得， 又且，所以或， 当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意， 当时，由题意或，即，又，代入（*）式得， 因为数列在且上单调递减，且，，所以， 综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $