精品解析：北京市第一○一中学2025年九年级中考一模模拟（统练8）数学试题

统练8 一模模拟 一、选择题：本题共8小题，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. 0 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形 3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 4. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 5. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　） A. 折扇 B. 圆扇 C. 一样大 D. 无法判断 8. 如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ） ①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形 A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，共16分． 9. 使分式有意义的的取值范围是________． 10. 抛物线与轴交于点，则点的坐标为_____． 11. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 14. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 16. 各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为______；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则______． 三、解答题：本题共12小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 21. 如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 23. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题： （1）若以米为一个单位长度，则点坐标为 （2）求出下垂电缆的抛物线表达式 （3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 26. 已知抛物线， （1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 27. 在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． （1）如图1，当，连接交于点，若平分，， ①则________；________； ②求的长； （2）如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 统练8 一模模拟 一、选择题：本题共8小题，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边的值相等的未知数的值，由定义知，x=0是方程的解，把x=0代入方程得m-1=0，解之即可． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是0， 把x=0代入得m-1=0， 则m=1． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法与解的性质，会用一元二次方程的解解决问题是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，结合图形找出中心对称点是关键． 中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，只有圆是中心对称图形， 故选：A ． 3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 4. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 5. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． 【详解】连接, 在中，是直径， ， 在中， ，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　） A. 折扇 B. 圆扇 C. 一样大 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可． 【详解】解：折扇的扇面面积为为： 圆扇扇面的面积为 ∵ ∴折扇的扇面面积大． 故选A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关键． 8. 如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ） ①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形 A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质求出可判断①；作于点H，解直角三角形可判断②；由旋转的性质得由、、三点共线先求出，进而可求出，从而判断③；证明五边形各边相等，各角相等，根据正多边形的定义可判断④． 【详解】解：①，故①正确； ②由旋转的性质得， ∴． 作于点H ∴，故②不正确； ③由旋转的性质得，， ∵、、三点共线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∴， 同理可证，． ∵， ∴， 同理可证，， ∴五边形是正五边形，故⑤正确． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正多边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 二、填空题：本题共8小题，共16分． 9. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 10. 抛物线与轴交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标的交点，理解抛物线与坐标轴的交点坐标特征是解题关键． 根据抛物线与与轴交于点，得到点的横坐标为0，代入抛物线解析中进行计算求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ， ． 故答案为：． 11. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 14. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式. 【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是． 【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 16. 各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为______；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据“好数”、“衍生数”的定义，得到的衍生数为；第二空：根据有序数对，，，得到当时，，有序数对为，其衍生数，得到；有序数对，，，有序数对为，衍生数为，得到，根据，得到，解得，不合；当时，有序数对为，其衍生数，得到，解得，得到，，根据，得到，，得到，， 得到． 本题主要考查了新定义“好数”，“有序数对的衍生数”，“”，熟练掌握新定义，有理数的四则运算，解方程，解不等式和不等式组，代数式求值，是解决问题的关键． 【详解】第一空： 的衍生数为， ； 故答案为：7045； 第二空： ∵有序数对中， ∴， ∵， ∴当时，，有序数对为， ∴， ∴， ∵有序数对中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，不合，不存在； 当时，有序数对为，， 衍生数为，， ∴， ∵， ∴有序数对的衍生数仍为，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 综上，． 故答案为：129． 三、解答题：本题共12小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先化简各式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握负整数指数幂的法则，实数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】先做括号内的减法，确定最简公分母进行通分，做除法时把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后代值进行二次根式化简计算． 【详解】解：原式= 当时， 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【解析】 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，得到，即可得得证； （2）过点作，利用正切值和勾股定理求出的长，三线合一求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作与点， 在中，， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质．熟练掌握矩形的判定方法，以及正切的定义，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： （2）或 （3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【解析】 【分析】（1）由题意得把代入得，即可得出A点坐标，将两点代入一次函数求出k、b，从而得出答案； （2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可． （3）由题意得，，再根据面积求出，即可求出P点坐标，可得t的值． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数的解析式为： 把代入得， 把，代入； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ∵不等式的解集即为：的解集， ∴或 【小问3详解】 如图， 由可知， ∴， ∵， 的面积为． ∴四边形的面积为 解得 ∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴， ∴或 ∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点． 23. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】（1） 补全统计图如下； （2） （3）③⑤ （4）件 【解析】 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第3组的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． 【小问4详解】 解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题： （1）若以米为一个单位长度，则点坐标为 （2）求出下垂电缆的抛物线表达式 （3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）这种电缆的架设符合安全要求， 理由如下： 由（1）可知：，，， 设斜坡解析式为， ∴，解得： ∴斜坡解析式为， 则电缆与坡面的铅直高度． ∵， ∴当时，有最小值为18，即， ∴这种电缆的架设符合安全要求． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用． （1）由题意可求出米，米，即得出．又可求出米，即得出． （2）结合，利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法可求出斜坡解析式为，即可求出电缆与坡面的铅直高度．再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得：米，米，米，米，轴，轴， ∴米，米， ∴． 故答案为 【小问2详解】 ∵米， ∴ ∵， ∴设下垂电缆的抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴下垂电缆的抛物线表达式为：． 【小问3详解】 略 26. 已知抛物线， （1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解； （2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是． 【小问2详解】 解：设抛物线的对称轴为， 由题知， 在的右侧，在的左侧， ∵，存在， ∴点到大于 点到的距离， ∴到的距离为：，点到的距离为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都在函数的左侧， ∴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小， ∵， ∴． 27. 在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． （1）如图1，当，连接交于点，若平分，， ①则________；________； ②求的长； （2）如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明． 【答案】（1）①，；② （2）， 理由如下，证明：如图所示，延长到点，使得，则， ∵点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证，得到，则；如图所示，过点作于点，则，可得是等腰直角三角形，则，，由角平线的性质定理得到，设，则，，在中，，，可证，得，由此列式求解即可；②根据上述计算得到，即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，则，根据中位线得到，再证明，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵将绕点逆时针旋转到的位置，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∵是的角平分线，， ∴， ∴设，则，， ∴在中，， ∴， 由（1）可得，，则，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：，； ②根据上述计算，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，得到全等三角形，相似三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先求出与一次函数的交点坐标即为，再根据“圆截距”的定义利用勾股定理求解即可； （2）①求出当直线l经过点时，，解直角三角形求出此时；求出当直线l经过点时，，由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为，两种情况结合函数图象求解即可．②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【小问1详解】 解：当时，则一次函数解析式为， ∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为， ∵到原点的距离都为1， ∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为， ∴“圆截距”； 【小问2详解】 解：①如图2-1所示，当直线l经过点时， ∴， ∴； ∵． ∴． ∴． 设与的另一个交点为C，连接，可知． ∴．即此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得． 由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于； ②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $