第四章 平行四边形 单元检测卷 2024—2025学年 浙教版数学八年级下册

第四章《平行四边形》 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ） A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】 由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】 解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形， 所以（AC-BD）＜5＜（AC+BD）， 由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6， 故选D． 【点睛】 本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题． 2．下列关于数字变换的图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形； 第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形； 既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个， 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．若用反证法证明：若，则，需假设（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可． 【详解】 解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC 【答案】B 【分析】 根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】 A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定； 故选：B． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 5．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ） A．8 B．10 C．5 D．4 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴, 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6．如图，在平行四边形中，是的中点，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△MAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长． 【详解】 解：∵M为CD中点， ∴CM=DM=CD=AB=BC=AD， ∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C+∠D=180°， ∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB， ∴∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°， ∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB）=90° 即△MAB为直角三角形， ∵BM=a，AM=b， ∴CD=AB=， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目设计较好，综合性较强． 7．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　） A．90° B．108° C．120° D．135° 【答案】B 【分析】 先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案． 【详解】 解：正五边形的内角和=， ∴∠BAE=， 故选：B． 【点睛】 此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键． 8．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】 首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断． 【详解】 解：延长AD，交FE的延长线于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠EFC， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEM和△CEF中， ， ∴△DEM≌△CEF（AAS）， ∴EM＝EF， ∵AE平分∠FAD， ∴AM＝AF，AE⊥EF． 即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误． ∵AF不一定是∠BAD的角平分线， ∴AB不一定等于BF，故①错误． 故选：C． 【点睛】 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 9．在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ） A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm 【答案】C 【分析】 可设，因为，，所以，所以，在中，利用勾股定理可求，则平行四边形的边AB，BC的长度可求，则周长可求． 【详解】 如图： 设，则 在中，由勾股定理可得： 平行四边形ABCD周长为： 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解题关键． 10．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ． 故选：． 【点睛】 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．从八边形的一个顶点出发，可以画出______对角线，将八边形分成_______个三角形． 【答案】5 6 【分析】 n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，依此即可求解． 【详解】 解：从八边形的一个顶点出发，可以作 5条对角线；它们将八边形分成 6个三角形． 故答案为：5，6． 【点睛】 本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形是解题的关键． 12．如图，中，，若沿图中虚线截去，则______. 【答案】255° 【分析】 先根据三角形内角和求出的度数，再利用四边形的内角和求出的度数即可． 【详解】 ∵ 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理和四边形内角和，掌握三角形内角和定理和四边形内角和是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形． 【答案】BO=DO． 【详解】 解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为BO=DO． 14．已知在直角坐标系中有A､B､C､D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为．若以A､B､C､D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______． 【答案】（4，1）或（6，5）或（-2，1） 【分析】 分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】 解：由图可知，满足条件的等D坐标为（4，1），（6，5），（-2，1）． 故答案为：（4，1）或（6，5）或（-2，1）． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 15．如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______． 【答案】 【分析】 根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN． 【详解】 解：如图 ∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点 ∴MP是ΔDEC的中位线， ∴MP=EC， NP是ΔDBC的中位线 ∴NP=BD， 又∵BD=CE ∴MP=NP ∴∠PMN=∠PNM=34∘ ∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘ 故答案位：112° 【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度． 16．如图，将沿对角线进行折叠，折叠后点D落在点F处，交于点E，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________． 【答案】①②③ 【分析】 根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC＝EA，根据∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，即可得出BF∥AC．根据E不一定是BC的中点，可得BE＝CE不一定成立． 【详解】 解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC， 又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD， ∴AF＝BC，AB＝CF， 在△ABF和△CFB中， ， ∴△ABF≌△CFB（SSS），故①正确； ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝FE， ∴BC-BE＝FA-FE，即EC＝EA，故②正确； ∴∠EAC＝∠ECA， 又∵∠AEC＝∠BEF， ∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA， ∴BF∥AC，故③正确； ∵E不一定是BC的中点， ∴BE＝CE不一定成立，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】 本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17．如图，直角三角形中，，于点，平分交于点，交于点，交于点，于，以下4个结论：①；②是等边三角形；③；④中正确的是______（将正确结论的序号填空） 【答案】①③④ 【分析】 连接EH，得出平行四边形EHBG，推出BG=EH，求出∠CEF=∠AFC，得出CE=CF，证△CAE≌△HAE，推出CE=EH，即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接EH， ∵∠ACB=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∴∠B+∠4=90°， ∴∠3=∠B，故①正确； ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠1=∠2， ∵∠AED=∠CEF， ∴∠CEF=∠AFC， ∴CE=CF， ∴△CEF是等腰三角形，故②错误； ∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC， ∴FH=FC， 在Rt△CAF和Rt△HAF中， ， ∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL）， ∴AC=AH， 在△CAE和△HAE中， ， ∴△CAE≌△HAE（SAS）， ∴∠3=∠AHE，CE=EH， ∵∠3=∠B， ∴∠AHE=∠B， ∴EH∥BC， ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴CD∥FH， ∴四边形CEHF是平行四边形， ∴CE=FH， ∴CD=CE+DE=FH+DE，故③正确； ∵EG∥AB，EH∥BC， ∴四边形EHBG是平行四边形， ∴EH=BG， ∵CE=EH， ∴BG=CE．故④正确． 所以正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度． 三、解答题（本大题共6小题,共49分） 18．若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形是几边形，并求出这个多边形对角线的条数． 【答案】八边形；20 【分析】 根据多边形的内角和与外角和定理，结合题意建立方程即可求解边数，进而求解对角线数量． 【详解】 多边形的内角和为：， 多边形的外角和为： 由题意得： 解得： 该多边形为八边形， 由多边形对角线数量公式：，代入 ，得： 该多边形为八边形，对角线为20条． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和与外角和，及对角线数量公式，熟记结论且准确计算是解题关键． 19．如图，为一个平行四边形的三个顶点，且三点的坐标分别为． （1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）在中，求出边上的高． 【答案】（1）或或；（2） 【分析】 （1）分以、和为对角线三种情况进行讨论，即可得出第四个点的坐标． （2）先利用间接的方法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，又，继而即可求出边上的高． 【详解】 解：（1）为对角线时，第四个点坐标为； 为对角线时，第四个点为； 当为对角线时，第四个点坐标为． （2）， ， ． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中． 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF； （2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO． 【详解】 证明：（1）∵BF=DE， ∴， 即BE=DF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， , ∴（HL）； （2）如图，连接AC交BD于O， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用． 21．如图，在中，于E，于F，若与的长度之比为3：4，求的值． 【答案】3:4 【分析】 由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD， AD=BC，又由AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，可得平行四边形ABCD的面积的两种表示方法，结合AB：AD=3：4可得结果． 【详解】 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， AD=BC， 又∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴平行四边形ABCD的面积=BC×AE=CD×AF，即AD×AE=AB×AF， 又AB：AD=3：4， ∴． 【点睛】 此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用两种方法表示平行四边形的面积． 22．如图，平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，垂足分别为、，延长、分别交、于、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】 （1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可． （2）先证明△DEM≌△BFN得BN＝DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN， ∴CM∥AN，AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）∵四边形AMCN是平行四边形， ∴CM＝AN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF， 在△MDE和△NBF中， ， ∴△MDE≌△NBF（AAS）， ∴ME＝NF＝3， 在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3， ∴DM＝＝5， ∴BN＝DM＝5． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，上述结论还成立吗？若呢？ （3）若平分，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm 【分析】 （1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形； （2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可； （3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长． 【详解】 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ， 四边形为平行四边形． （2），， ， ， 四边形为平行四边形． 上述结论成立， 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章《平行四边形》单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ） A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6 2．下列关于数字变换的图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．若用反证法证明：若，则，需假设（　　　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC 5．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ） A．8 B．10 C．5 D．4 6．如图，在平行四边形中，是的中点，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　） A．90° B．108° C．120° D．135° 8．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 9．在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ） A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm 10．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．从八边形的一个顶点出发，可以画出______对角线，将八边形分成_______个三角形． 12．如图，中，，若沿图中虚线截去，则______. 13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形． 14．已知在直角坐标系中有A､B､C､D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为．若以A､B､C､D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______． 15．如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______． 16．如图，将沿对角线进行折叠，折叠后点D落在点F处，交于点E，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________． 17．如图，直角三角形中，，于点，平分交于点，交于点，交于点，于，以下4个结论：①；②是等边三角形；③；④中正确的是______（将正确结论的序号填空） 三、解答题（本大题共6小题,共49分） 18．若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形是几边形，并求出这个多边形对角线的条数． 19．如图，为一个平行四边形的三个顶点，且三点的坐标分别为． （1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）在中，求出边上的高． 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO． 21．如图，在中，于E，于F，若与的长度之比为3：4，求的值． 22．如图，平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，垂足分别为、，延长、分别交、于、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知．求的长． 23．如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，上述结论还成立吗？若呢？ （3）若平分，，求四边形的周长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$