精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性学习质量检测初二数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数y=kx的定义： k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】A、是正比例函数，故A符合题意； B、不符合正比例函数的定义，故B不符合题意； C、，是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意； D、不符合正比例函数的定义，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是正比例函数，掌握正比例函数的定义是解决此题的关键． 2. 一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数求出的值，在根据中位数的定义求出中位数即可． 【详解】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3， ∴x＝3， 从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9， 处于中间位置的两个数是3，4， ∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5． 故选：B． 【点睛】本题考查了众数的概念及中位数的计算，熟知以上知识是解题的关键． 3. 若一次函数的图象与直线平行，且过点，则该直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设一次函数的表达式为，根据两直线平行斜率相等得出该函数的斜率，再将点代入可得值，进而得出结论． 【详解】解：设该直线的表达式为， 一次函数的图象与直线平行， ． 点在直线上， ，解得． 该直线的表达式为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象平行与相交的理解、运用能力．同一平面内，不重合的两直线：：，：，当时，两直线平行；当时，两直线相交．明确一次函数的图象与直线平行，它们的斜率相等，掌握待定系数法得出值是解本题的关键． 4. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ） A. x＞3 B. x＞1 C. x＞0 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象得到当x>1时，函数y1=x+b的图象都在y2=kx+4的图象的上方，所以关于x的不等式x+b>kx+4的解集为x>1． 【详解】当x>1时，x+b>kx+4， 即不等式x+b>kx+4的解集为x>1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式． 5. 如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若四边形是平行四边形，则与互相平分 D. 若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 6. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ①②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①如图1，连接BD，运用勾股定理可得，再运用矩形性质和直角三角形性质即可判断结论①正确； ②利用垂线段最短可得：当时，BD最小，即EF最小，再运用面积法即可判断结论②正确； ③求线段的平方和，用勾股定理得出 ，即可判断结论③不正确； ④利用三角形面积公式即可判断结论④正确； ⑤设DF的长度为x，矩形的周长为y，利用三角形面积可得，再由矩形周长公式即可判断结论⑤不正确； 【详解】解：①如图1，连接BD， ∵Rt△ABC中，， ∴， 当D运动到AC中点时，∵于E，于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，， ∴， ∴， 故结论①正确； ②由①知：， 由垂线段最短可知，当时，BD最小，即EF最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 即EF的最小值是， 故结论②正确； ③∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 故结论④正确． ⑤设DF的长度为x，矩形的周长为y， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即y与x的函数关系式是， 故结论⑤不正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选B． 【点睛】本题是矩形与三角形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，垂线段最短的应用等，熟练运用直角三角形斜边上的中线的性质和矩形对角线相等是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 直线y＝2x+6经过点（0，a），则a＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】直接将点（0，a）代入直线y＝2x+6，即可得出a＝6. 【详解】解：∵直线y＝2x+6经过点（0，a），将其代入解析式 ∴a＝6. 【点睛】此题主要考查一次函数解析式的性质，熟练掌握即可得解. 8. 如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答本题的关键．根据矩形的性质和角平分线的定义可得的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后计算出的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 9. 一次函数 的图像经过点，则代数式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】把点代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式的值． 本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵的图像经过点， ∴， ， 故答案为：1． 10. 为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早分钟跑步出门，分钟后他们相遇．两人寒暄分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是米/分，乙的速度是米/分．练习分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离（千米）与甲跑步所用时间（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟． 【答案】11 【解析】 【分析】由图象可以看出，0-1min内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min内，根据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始是240米/分，则他们的速度之差是60米/分，则5分钟相差400米，设再经过t分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t+120t=400，然后求出t后加上前面的10分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和． 【详解】甲出门时的速度v1=（540-440）=100（米/分）， 设乙出门时的速度为v2（米/分）， 根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分， 甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始为240米/分，他们的速度之差是60米/分，5分钟相差300米， 设再经过t分钟两人相遇，则180t+120t=300，解得t=1（分） 所以甲从家出发到他们再次相遇时5+5+1=11（分）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键． 11. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正方形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、…及、、、、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】当时，， ∴点． ∵四边形为正方形， ∴点． 同理，可得出：，，，，…， ∴，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知一次函数,当. （1）求的值 （2）当,求的值 【答案】（1）b=2（2）x=2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出b的值； （2）将代入一次函数解析式中，即可求出x的值. 【详解】解：（1）将x=1,y=3 代入y=x+b 中 即3=1+b 解得b=2 解析式为 y=x+2 （2）将y=4 代入解析式中 4=x+2 解得x=2 故答案为：（1）b=2（2）x=2 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟记概念是解题的关键. 14. 如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解； （1）由题意得：，推出，得，即可求证； （2）由题意得，推出，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 15. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线与y轴交于点C，求出点C坐标，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 把，代入得：， 解得：， 所以该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 如图，直线与y轴交于点C， 当时，， ∴， 又∵，， ∴ ． 16. 根据要求作图． （1）如图1，平行四边形，点E，F分别在边上，且，连接．请你只用无刻度直尺画出线段的中点O． （2）如图2，平行四边形，点E在边上，请你只用无刻度直尺在边上找一点F，使得四边形为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接，与的交点即为点O； （2）连接交于点O，连接并延长交于点F；由平行四边形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图点O即为所求， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图点F即为所求， ∵平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 17. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19. 为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． （1）请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； （2）在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 【答案】（1） （2）块 【解析】 【分析】（）根据题意列出一次函数即可； （）由题意得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴最多可以安装块减速块． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下（单位：分）：40，21，35， 24，40，38，23，52，35，62，36，15，51，45，40，42，40，32，43，36，34，53，38，40，39，32，45， 40，50，45，40，40，26，45，40，45，35，40，42，45 （1）补全频率分布表和频率分布直方图； 分组 频数 频率 14.5-22.5 2 0.050 22.5-30.5 3 30.5-38.5 10 0.250 38.5-46.5 19 46.5-54.5 5 0.125 54.5-62.5 1 0.025 合计 40 1.00 （2）填空：在这个问题中，总体是_____，样本是_____．由统计结果分析的，这组数据的平均数是38.35（分），众数是_____，中位数是______． （3）如果描述该校400名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况，你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适？ 【答案】（1）见解析 （2）全校400名学生参加课外锻炼的时间，40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间，40，40 （3）因为在这一问题中，这三个量非常接近，所以用平均数、众数和中位数描述该校400名学生参加课外锻炼时间的总体情况都比较合适 【解析】 【分析】本题考查利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了平均数、中位数和众数的意义以及用样本估计总体． （1）根据调查表，可补全频率分布表和频率分布直方图； （2）根据总体、样本、众数、中位数的概念，可得答案； （3）因为在这一问题中，这三个量非常接近；所以用平均数、众数和中位数描述该校400名学生参加课外锻炼时间的总体情况都比较合适． 【小问1详解】 解：，， 补全频率分布表和频率分布直方图 分组 频数 频率 14.5-22.5 2 0.050 22.5-30.5 3 0.075 30.5-38.5 10 0.250 38.5-46.5 19 0.475 46.5-54.5 5 0.125 54.5-62.5 1 0.025 合计 40 1.00 【小问2详解】 解：总体是全校400名学生参加课外锻炼的时间，样本是40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间； ∵40个数据中小于40的数有16个，10个40且最多，而中位数为第20，21个数的平均数， 所以众数是40，中位数是40， 故答案为：全校400名学生参加课外锻炼的时间，40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间，40，40； 【小问3详解】 解：前10个数的平均数为：； 后10个数的平均数为：； 后10个数的平均数为：； 后10个数的平均数为：， ∴平均数为： 在这一问题中，这三个量非常接近，所以用平均数、中位数、或众数描述该校400名学生参加课外锻时间的总体情况都比较合适． 22. 矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②2 （3）或． 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求； （2）①根据折叠的性质直接计算即可；②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示： 【小问2详解】 解：①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2； 【小问3详解】 解：由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性学习质量检测初二数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 3. 若一次函数的图象与直线平行，且过点，则该直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ） A. x＞3 B. x＞1 C. x＞0 D. x＜1 5. 如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若四边形是平行四边形，则与互相平分 D. 若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 6. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（　　） A ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 直线y＝2x+6经过点（0，a），则a＝_____． 8. 如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为______． 9. 一次函数 图像经过点，则代数式的值为______． 10. 为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早分钟跑步出门，分钟后他们相遇．两人寒暄分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是米/分，乙的速度是米/分．练习分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离（千米）与甲跑步所用时间（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟． 11. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________． 12. 如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知一次函数,当. （1）求的值 （2）当,求的值 14. 如图，将两块完全相同含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求的度数． 15. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 16. 根据要求作图． （1）如图1，平行四边形，点E，F分别在边上，且，连接．请你只用无刻度直尺画出线段的中点O． （2）如图2，平行四边形，点E在边上，请你只用无刻度直尺在边上找一点F，使得四边形为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）． 17. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的值． 19. 为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． （1）请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； （2）在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下（单位：分）：40，21，35， 24，40，38，23，52，35，62，36，15，51，45，40，42，40，32，43，36，34，53，38，40，39，32，45， 40，50，45，40，40，26，45，40，45，35，40，42，45 （1）补全频率分布表和频率分布直方图； 分组 频数 频率 14.5-22.5 2 0.050 22.5-30.5 3 30.5-38.5 10 0250 38.5-46.5 19 46.5-54.5 5 0.125 54.5-62.5 1 0.025 合计 40 1.00 （2）填空：在这个问题中，总体是_____，样本是_____．由统计结果分析的，这组数据的平均数是38.35（分），众数是_____，中位数是______． （3）如果描述该校400名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况，你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适？ 22. 矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $