圆锥曲线：定点问题 讲义-2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 圆锥曲线：定点问题 高频考点分析 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.直线过定点问题 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 3.圆过定点问题 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为. 4. 与定点问题有关的基本结论（拓展） （1）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点； （2） 若直线与抛物线交于点，则直线l过定点； （3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点。 （4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点； （5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点； （6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点； （7）设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点； （8）设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点。 实战演练一：直线过定点问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 6．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 7．（23-24高二上·吉林·阶段练习）直线恒过定点 ． 8．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知直线经过，则该直线过定点 ． 实战演练二：设所求直线方程为，翻译条件得与的关系，进而得定点. 1．（2025·重庆·一模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 3．（2025·辽宁·三模）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 4．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点. 5．（24-25高二上·天津西青·期末）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 6．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 实战演练三：求所求直线上两点坐标，整理出直线方程，进而得定点. 1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积的最大值为，过点做斜率之和为3的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，线段的中点分别为. (1)求的标准方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. 3．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 4．（2025·江西景德镇·三模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 5．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 实战演练四：以圆为背景的定点问题 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 3．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 圆锥曲线：定点问题 高频考点分析 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.直线过定点问题 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 3.圆过定点问题 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为. 4. 与定点问题有关的基本结论（拓展） （1）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点； （2） 若直线与抛物线交于点，则直线l过定点； （3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点。 （4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点； （5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点； （6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点； （7）设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点； （8）设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点。 实战演练一：直线过定点问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 4．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 5．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 【答案】 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 6．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 7．（23-24高二上·吉林·阶段练习）直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】依题意，直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 8．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知直线经过，则该直线过定点 ． 【答案】 【详解】由可化为，即直线恒过点. 故答案为： 实战演练二：设所求直线方程为，翻译条件得与的关系，进而得定点. 1．（2025·重庆·一模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）设左焦点， ∴，解得， ，，由， ∴椭圆方程为. （2） 由（1）可知椭圆左顶点， 设，，∵以为直径的圆过， ∴即，∴， ∵，， ∴① 联立直线与椭圆方程： ，整理得 ∴，， ∴， ，代入到① ， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，：，∴恒过 当时，：，∴恒过，但为椭圆左顶点，不符题意，故舍去， ∴恒过. 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． （2）由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， 因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 3．（2025·辽宁·三模）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1)2 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知， 则. （2）①解：直线的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则的方程为. ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 4．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知, 解得，所以椭圆C的方程为. （2）由题意知，直线斜率不为，设直线的方程为，（） ，，，联立方程， 消去整理得， 所以， 易知直线为，令，得到，则， 同理可得， 所以 ， 将代入，化简整理得， 解得（舍）或， 所以直线恒过定点. 5．（24-25高二上·天津西青·期末）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得圆方程为：圆心为， 即，∴. 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，∴，解得：， ，则. 椭圆方程为. （2）， 设， 则直线的方程为. 令，得点的横坐标.所以点 同理，点. 由得. 则. 所以 又，所以. 解得，此时， 所以直线经过定点. 6．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 【答案】(1) . (2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 实战演练三：求所求直线上两点坐标，整理出直线方程，进而得定点. 1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设点，则，且． 直线，即． 由，得． 所以，则． 所以． 所以．同理． 依题意，所以． 所以直线的方程为，整理得． 所以直线过定点． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积的最大值为，过点做斜率之和为3的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，线段的中点分别为. (1)求的标准方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则椭圆焦点， 设点的纵坐标为，则，， 于是，， 所以的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为，点， 由消去得， 则， 于是点，同理点，而， 因此直线的斜率为 直线的方程为， 即 而 ，因此直线：过定点， 所以直线恒过定点. 3．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点 【详解】（1）依题意有， 又因为，解得， 所以椭圆的方程为． （2）①设， 则， 联立，得， ， 由弦长公式可得：， 同理可得：， 所以， 令，则， 当时，四边形面积的最小值是； ②， ，用代替m，得， 当，即时，，过点， 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点 4．（2025·江西景德镇·三模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设（），由的离心率为，得，，① 在中，令，得， 则当垂直于轴时，，② 由①，②，解得，则，， ∴的方程为． （2）由题意，知，， 显然与轴不重合，可设：，设，， 联立，消去x并整理，得， 由韦达定理，得，， 则， 则面积， 而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为． （3）设，，， 直线与椭圆联立可得，， 根据韦达定理可得，，∴，， 即，同理，， 根据对称性，直线过定点， 则，∵，， ∴，∴，解得， 即直线过定点． 5．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)答案见解析,定点 【详解】（1）由题意可知，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，,设， 设直线的方程为且， 直线的方程为且， 则直线与轴的交点为， 直线的方程为， 则直线与直线的交点为， 将代入方程，得， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 将点的坐标代入直线的方程， 整理得， 因为， 所以，即， 由点坐标可得直线的方程为： ， 即，则直线过定点. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：      由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 实战演练四：以圆为背景的定点问题 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）连接，则为直角三角形，且． 则． 所以点是以为圆心，半径为2的圆．所以的轨迹方程为． （2） （i）设点． 以为直径圆的方程为，即． 以为直径圆与圆的方程相减即为直线的方程，即． 整理得． 令，解得． 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，（即坐标原点）到直线的距离为，则． 则当取最大值时，有最小值． 由几何性质知的最大值为，当且仅当时取到． 所以的最小值为． 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 3．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得，的中点，， 所以，线段的中垂线斜率为1， 所以线段的中垂线方程为：， 联立可得，圆心C点坐标为， 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为：. （2）依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，    所以， ， 所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：， 联立，两式作差并化简得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、， 可知，，，则点A，B在以为直径的圆上， 由点，可知为直径的圆的方程为， 联立，可得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3，0）. 另解2：依题意，设点，，， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 【答案】(1)圆方程为，圆的方程为； (2)证明见解析． 【详解】（1）线段为圆与圆的公共弦,所以圆心均在线段的中垂线上， 设，则，，半径为， 设，则，解得，半径为， 所以圆方程为，圆的方程为； （2）设，，， 由，解得，即 由，解得，即， 则， 所以， 所以，即以为直径的圆恒过点． 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 【答案】(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆； (2)证明见解析， 【详解】（1）设， 由，得， 化简得，即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； （2）由题意知，与圆相切，为切点， 则，则四点共圆 在以为直径的圆上， ，又， 则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，①， 又在上，②， 由两圆方程作差即②-①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$