圆锥曲线中定点，定值问题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生表理化架学州衡幸新 圆锥曲线中定点、定值问题的求解策略 ■河南省许昌高级中学 孙英环 圆锥曲线中的定点、定值问题是新高考 8mk 4(m2-3) 热点与难点之一，此类题的综合性很强，考查 4k2+3x1x2= 4k2+3 范围广泛，涉及导数、向量、不等式、函数和平 所以y1y?=(kx1十m)(kx2+m)= 面几何等数学知识。同时在解题过程中，强 k2x1x:十mk(x1十x2)+m=4h（m-3) 调数学思维和数学运算相结合，不仅考查同 4k2+3 学们的运算能力，还要求同学们能熟练运用 8n2k2 4k2+3 十m2= 3m2-12k2 函数方程、等价转换、数形结合、分类讨论等 4k2十3 数学思想方法。下面通过例题归纳总结圆锥 故DA.Di=4m-3) 4k?+3 2.8mk 4k2+3 曲线中定点、定值问题的求解策略，供同学们 复习时参考。 4+3m2-12k2_7m2+16mk+4k 4k2+3 4k2十3 =0。 一、直接推理法求定点 所以7m2十16mk+4k2=（7m+2k)· 例1已知椭圆C,二+ a+方=1(a> 2 (m十2k)=0,解得m= k或m=-2k. b>0)的离心率为号，其左焦点到点P(2,1) 当m= 号大时，直线1一：一号 的距离为√10。 k(x一号)，所以直线1恒过点（号0）： (1)求椭圆C的方程。 (2)若直线l:y=k.x十m与椭圆C交于 当m=一2k时，直线l:y=kx一2k= 点A,B(A、B不是左、右顶点)，且以AB为 k(x一2)，所以直线1恒过点(2,0)，但(2,0) 直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线1 为椭圆C的右顶点，不符合题意，故舍去。 过定点，并求出该定点的坐标。 所以直线1恒过点（号。）： 解析：(1)设左焦点F1(一c,0),所以 评注：直接推理法求定，点的一般步骤：一 1PF1[=√（-c-2)+(0-1)7=√10，解得 选（设参），二求（用参），三定，点（消参）。解答 c=1。又后=3，则a=26=a-7= 本题第(2)问的关键是设出直线1的方程，与 椭圆方程联立，利用韦达定理及向量数量积 6.故稀圆C的方程为号+苦-1. 坐标公式计算推理得证。同学们在解题过程 (2)由(1)知椭圆C的右顶点为D(2,0)。 中要注意排除不符合题意的，点。 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为 二、特殊探路，一般证明 直径的圆过D(2,0),所以DA⊥DB,即DA 例2 ⊥D,所以DA·D序=0。 已知椭圆C:兰+ 6=1(a> 因为DA=(x1-2,y1),DB=(x2-2, b≥1)的离心率为 ,上焦点到直线bx十 y2),所以DA·Di=(x1-2)(.x2-2)十 y1y2=x1x2一2(x1+x2)+4+y1y2=0。 2ay一2=0的距离为'3。 联立P=kx十m, 消去y整理得(3+ (1)求椭圆C的方程。 3x2+4y2=12, 4k2)x2+8mkx十4(m2-3)=0,则x1十x2= (2)过点P(合，o)的直线1交桶圆C于 程氯学学意费新哲肉中学生凝理化 A,B两点。试探究以线段AB为直径的圆 性及特殊（或极端）位置，如直线的水平位置、 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过， 竖直位置，即k=0或k不存在：(2)以曲线上 请说明理由。 的点为参数，利用点在曲线∫(x,y)=0上进 解析：1由e=台-竖得。-。力 行消参。 a 三、参数法求定值 =合则a2=2b,c=a-6=b 例3已知双曲线E:y=1(a 又因为%-怎。>6≥1，所以 0)过点M(2,1),MP,MQ分别为圆C:(x √/4a+b 2)十y2=,(0<,一)的两条切线，且分别 3 6=1,a=2,故椭圆C的方程为？+x2=1。 交双曲线E于点P,Q。 (2)当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆 (1)求双曲线E的离心率； 的方程为e》+y-吕， (2)证明：直线PQ的斜率为定值。 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方 解析：1)将M(2.1)代入等-y=1,得 程为x2十y2=1。 可得两圆交点为Q(一1,0)。 口'=2，故双曲线E的离心率e三1+号宁 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定 ⑥ 点，则该定点必为Q(一1,0)。 21 下证Q(一1,0)符合题意。 (2)由题意知，直线MP,MQ的斜率都 设直线飞的斜率存在，且不为0，则方程 存在且不为0，设直线MP的方程为y= 为y=k(e一吉），代入苦+2=1，化简整理 k1(x一2)十1，直线MQ的方程为y=k,(x一 2)+1,P(x1,y1),Q(x2y2)。 得(k2十2)x2- 十6-2=0,4= 2 y=k1(x-2)+1, 联立 消去y整理得 +16>0恒成立. 2 -y2=1, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= (1-2k)x2+4k1(2k1-1)x一2(2k1-1)2 2k2 k2-18 2=0。 3(k°+2，x1x:=9(k+2) 所以QA·QB=(x1+1)(x2十1)十 由1一2：≠0，得k,≠士 2 y1y2=x1x2十x1十x2十1+k2· 由△=16k号(2k1-1)2-4(1-2k)· (-3)(e-3）=(1+k)xx十 [-2(2k1-1)2-2]=16(k1-1)2>0,得 k1≠1。 (1-号）x+x)+1+号k-1+6)… 由题意知，2十x1=一46，(2k1一1 1-2k号 ,解得 8+-吉2 5+1+号6 x1=4k-41十2 2k1-1 ，故y1=b1(x1一2)十1= 0,故QA⊥QB,即Q(一1,0)在以AB为直 -2k号十4k1-1 径的圆上。 2k-1 综上可知，以AB为直径的圆恒过定点 (-1,0)。 两p(,2 2k1-1 评注：先找后证法求定点的一般思路： 同理Q(4二：+2，二2+，-)」 (1)先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称 2k号-1 2k8-1 知识篇科学备考新指向 中学生教理化高三数学2025年12月 1 由题意知，r= √5 (2)由(1)知F为椭圆号+苦 =1的右焦 √k+1 √k+1 3 得k=k>2。 点。 当直线L1与x轴重合时，「AB|=6, 因为k1≠k2,所以k2=一k1,故Q的坐 /4k1+4k1+2-2k1-4k1-1 CD= 26_16 1 17 标为（2k1-1 a3·所以AB十CD=8。 2k1-1 所以直线PQ的斜率k= 当直线1与x轴垂直时，1AB1= 3 -2k号+4k1-1-2k号-4k1-1 117 2k-1 2k-1 8k1 cD=6,所以AB十cD格 4k1一4k1十24k7十4k1+2 -8k1 当直线1与x轴不垂直也不重合时，可 2k1-1 2k1-1 设直线l1的方程为y=k(x一1)(k卡0)，则 一1，即直线PQ的斜率为定值一1。 评注：此题是求双曲线的离心率及双曲 直线1：的方程为y=一名x-1D. 线中的定值问题。第(1)问是根据，点在双曲 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 线上，将点的坐标代入双曲线方程求出a2的 y=k(x-1), 9+ 81, 消去y整理得(8十9k2)x2一 值，再利用双曲线的离心率公式e= 1十 a 来计算离心率。第(2)问是通过联立直线和 18k”x十9k2-72=0,则△=(-18k2)2 双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再 4(8+9k2)(9k2-72)=2304(k2+1)>0, 根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线 x1十x2 8+9k1x,-96一72 18k2 8十9k2。 PQ的斜率为定值。 四、从特殊到一般求定值 由弦长公式可得|AB|=√+· 例4设O为坐标原点，动点M在椭 x1+x2)-4x1x= 48(1+k2) 8+9k?。 圆写+苦-1上，过M作2轴的重线，垂足 同理可得CD= 48(1+k2) 9+8k2 为N,点P满足N产=√2NM 1 1 8+9k2 (1)求点P的轨迹E的方程； 所以AB十TCD= 48(k2+1) (2)过F(1,0)的直线L1与E交于A,B 9+8k2 17 48(k2+1)48 两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l,交E 1 1 于C,D两点，求证：AB十CD为定值。 综上可得，AB十CD为定值。 评注：从特殊到一般求定值的一般思路： 解析：(1)设P(x,y),M(xo,yo),则 (1)研究特殊情形（如直线斜率不存在、直线 N(xo,0)。 与x轴重合等)，得到所要探求的定值；(2)探 因为N币=√2NM,所以(x一xo,y) 究一般情形；(3)综合上面两种情形下结论。 √2(0，yo),故x0=x,yo= y 解析几何是一个有机整体，由于圆锥曲 √2 线解答题的运算量过大，同学们应该从“形” 和“数”两个角度去分析问题，注重数学的内 又点M在椭圆上，所以号 在知识逻辑和思维逻辑，明确算理，掌握算 4 法，提高运算效率。在日常学习过程中，同学 9 8 =1。 们应培养几何推理能力、数学运算能力及高 故点P的轨迹E的方程为写+苦-1， y 阶思维能力，提升数学核心素养。 (责任编辑王福华) 8