江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数在上的平均变化率为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 2.已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为(    ) A. B. C. 1 D. 3.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则(    ) A. B. C. D. 4.已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则(    ) X 1 2 3 P n m A. B. C. D. 5.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为(    ) A. B. C. D. 6.已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为(    ) A. B. C. D. 7.某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有(    ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 8.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列函数的导数运算正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知…，其中，则(    ) A. B. C. … D. 11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则(    ) A. 当时， B. C. 随机变量，当，都减小时，概率增大 D. 随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量，若，，则______. 13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 14.若恒成立，则实数______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的展开式中共有11项. 求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 求二项式系数最大的项. 16.本小题15分 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ 将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 17.本小题15分 已知函数 若，求函数的单调区间和极值； 若存在，使得成立，求a的取值范围. 18.本小题17分 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球. 求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； 求第一局比赛甲获胜的概率； 现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 19.本小题17分 若定义在R上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数x，都存在常数k，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称k为控制系数. 求证：函数是函数的“控制函数”； 若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； 若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数c，使得恒成立”. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据题意，，则，， 则在上的平均变化率为； 故选： 根据题意，由函数的解析式计算可得、的值，进而由变化率公式计算可得答案． 本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：由， 可得， 故在点P处切线的斜率为： 故选： 求得导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解结论． 本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则 故选： 利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果． 本题考查条件概率公式的变式公式和对立事件的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】B  【解析】解：由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以， 即联立方程，解得， 所以 故选： 利用分布列的性质及期望公式即可求解． 本题考查离散型随机变量的均值数学期望，属于中档题． 5.【答案】C  【解析】解：甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为， 设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”， 则，， 则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为 故选： 根据条件概率知识可解． 本题考查条件概率相关知识，属于中档题． 6.【答案】D  【解析】解：设函数，则， 因为是R上的奇函数，所以， 所以是R上的偶函数，， 因为当时，，所以，即在上单调递减， 故在上单调递增， 所以，， 当，原不等式可化为，即，解得， 当，原不等式可化为，即，解得， 综上所述， 故选： 设函数，结合导数与单调性关系先判断的单调性，然后判断奇偶性，即可求解． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题． 7.【答案】C  【解析】解：将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法； 由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法； 按照分步乘法原理，共有种方法． 故选： 先分组，再考虑甲的特殊情况． 本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题． 8.【答案】C  【解析】解：因为，， 所以，，， 若， 则，即 故选： 先对函数求导，结合已知定义即可求解． 本题以新定义为载体，主要考查了导数的运算，属于基础题． 9.【答案】AD  【解析】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选： 结合函数的求导公式及求导法则检验各选项即可判断． 本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：…，其中， ，A正确；  又项的系数为，B错误； 令，得，  令，得…，① 故…，C正确；  令，得…，② ①+②，整理得，D正确． 故选： 利用二项式定理，对x分别赋值0，1，，逐项判断即可． 本题考查二项展开式的通项与二项式系数的性质的应用，为中档题． 11.【答案】BD  【解析】解：对于A，当时，，故A不正确； 对于B，根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故答案为： 由定义即可判断A； 根据结合正态曲线的对称性，可判断B； 根据正态分布的准则可判断C， 本题考查了正态分布，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 根据二项分布的期望公式和方差公式求解． 本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于基础题． 13.【答案】84  【解析】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类： 若A和C相同，B和D相同时，有种方法； 若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种； 若种四种花，则有种， 则不同的种植方法有种． 故答案为： 根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：，即，即， 设，则， 又，则在R上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 又当且仅当时等号成立， 则，解得 故答案为： 设，则原式等价于，进而得到恒成立，再根据切线不等式得解． 本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题． 15.【答案】960；     【解析】解：由题意可知，，解得， 展开式的通项为， 令，解得， 故展开式中含的项的系数为； 二项式系数最大的项为 结合二项式定理，即可求解； 结合的通项公式，即可求解． 本题主要考查二项式定理，属于基础题． 16.【答案】81；   36；     【解析】解：将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； 将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 根据分步乘法计数原理可解； 根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可； 确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 17.【答案】增区间为和，减区间为，当时取得极大值，当时取得极小值；     【解析】解：若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值，当时取得极小值； 因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为，所以存在，， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， 故a的取值范围为 将代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可； 问题等价于存在，，设，利用导数求函数在上的最大值，进而可得出答案． 本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 18.【答案】；    【解析】解：依题意知，X的所有可能取值为0，1，2； 计算，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P X的均值为； 设第一局比赛甲获胜为事件B，则，，； 由知，，，， 由全概率公式得，， 解得，即第一局比赛甲获胜的概率； 由知，所以估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y， 因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5， 所以，，； 所以该场比赛甲获胜的概率为 依题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，求出X的分布列和均值； 设第一局比赛甲获胜为事件B，利用全概率公式求解，得出即可； 由得，估计甲每局获胜的概率，根据五局三胜制的规则，求解即可． 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望运算问题，是中档题． 19.【答案】证明见解析；   ；   证明见解析．  【解析】解：证明：，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； 有，， 则，，令， 则， 由， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增，故， 即有，则当时， 函数是函数的“控制函数”，即； 证明：充分性：若存在常数c使得恒成立，则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以，则， 即，所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 因此，又，，因此函数是函数的“控制函数”， 所以，即恒成立，用代换x有， 综上可知，记，则， 因此存在常数c使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数c使得恒成立” 结合定义，只需证明即可得； 结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得； 先证明充分性：若存在常数c使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，，则可结合偶函数性质得到，即可得证． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$