2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版选修三和一轮复习三角函数之前】

**基本信息** 2026年高二开学学情自测卷，覆盖导数、三角函数等多模块知识，通过股票价格、鸟类种群等真实情境题，检测数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、逻辑、函数单调性|基础概念辨析，如第5题充要条件判断| |填空题|5/25|二项式定理、导数极值、不等式|分层设空，如第14题含单调性参数范围| |解答题|6/85|导数应用、三角函数、统计案例、创新集合|综合情境设计，如第18题初高中衔接方案调查（统计与概率）、第21题极异集合探究（创新应用）|

2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B A B D C C D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11． 24 （第一空3分，第二空2分） 12． 13. 5 14． 0 （第一空3分，第二空2分） 15. ①③(写对1个给3分，全对5分） 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得.．....................6分 （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为...................13分 17．（13分） 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得， 所以...................4分 （2）由（1）得，， 则， 由，得， 所以的单调递增区间为...................13分 18．（14分） 【答案】(1)估计该校高三男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为 (2) (3) 【详解】（1）由样本数据，抽取的男生中支持方案一的共50人，抽取男生总人数为， 因此男生支持方案一的概率估计值为； 抽取的女生中支持方案一的共80人，抽取女生总人数为， 因此女生支持方案一的概率估计值为...................3分 （2）记“抽取的1名男生支持方案一”为事件，“抽取的2名女生中恰有人支持方案一”为事件（）， “3人中恰有2人支持方案一”为事件， 则，， ，. 由题意知，事件与事件相互独立， 因此， 即 “3人中恰有2人支持方案一”的概率为...................8分 （3）全年级支持方案二的总频率， 该年级某班有20名男生和30名女生，设该班支持方案二的频率估计值为， 则. 即该班支持率低于全年级平均水平，因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，故...................14分 19．（15分） 【答案】(1)选择条件①或③，的值为 (2)在区间上的最大值为，最小值 【详解】（1） ..................4分 选条件①：根据题意，解得，即，因为，所以， 则，． 选条件②：由，可得， 因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在. 选条件③：因为函数在单调，且， 所以，解得，即，因为，所以， 则，．..................9分 （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为...................15分 20．（15分） 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1） ，所以， 又 ，所以，所以切线方程为， 即...................4分 （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 当时，令，得或， 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 综上：的取值范围为...................10分 （3）由（2）可得， ， 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为...................15分 21．（15分） 【答案】(1),； (2)①；②证明见解析 【详解】（1）已知集合的非空子集有15个： 计算可得，即． 集合的非空子集有15个： 计算可得，即..................7分 （2）①集合共有个非空子集，的最大值为 ②， 即证 不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为 集合是极异集合，，代表有个不同的正整数， 即， 所以中有个元素，由元素互异性可得 又，即可得， 因此数列的前项和...................15分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷01 O 数学 : : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教A版2019选择性必修第二册导数+第三册+集合与命题逻辑+不等式+三角函数 第一部分（选择题共40分） : : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.集合M={x3x-1>5},N={0,12},则MnN=() A.{1,2,3} B.{2,3} C.0 D.3} 2.下列结论正确的是() 1 B.(cos1)'=-sinl C.(e+2=e+2 0.02r- 3.已知(1+i)z=4,则=() 照 : A.1 B.2 C.5 D.22 4.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是() O A.f(x)=h(x+1) B.f(x)=2 C.f(x)=x D.f(x)=3- 5.“x>1"是1<1成立的（) 北 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 : C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 : 6.,已知实数c<0<a<b,则下列不等式不成立的是() 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 A. b-cb a b B.Cc c. D. 1+b> +a a b a-c a b 7.函数f(x)=x3+2+bx+a2在x=1处有极值10，则a,b的值是() A.a=-11,b=4 B.a=-4,b=11 C.a=11,b=-4 D.a=4,b=-11 8.将函数f()=no+刀(@>0)的图象向左平移汇个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则0的最 6 4 小值为() A.3 B. 3 c 0.10 9.股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为.己知某 支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称 为“涨停板”)，最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设x个交易日后 该股票价格达到60元每股，则x的最小值为()（参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477） A.7 B.8 C.9 D.10 10.设函数f(x)={x -k,x<0, 若关于x的方程(x)=x-1恰有两个不同的实数解，则满足条件的实 nx+1-k,x>0. 数k的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 2+2)4的二项展开式中，第1项是 ；常数项是 12.已知函数y=Asin(ar+p)(o>0,-兀≤p<)的图象如图所示，则p= YA 2π 13.设正实数x,y满足x+y=1,则 4y,1 +二有最小值为 x y Vx+1,x>0 14.已知函数f(x)= ，当a=0时，f(O)=__;若f(x)在R上单调递增，则实数a的取 x+a,x≤0 范围是 15.某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：Pn=1+k)”(k>-1)来研究种群数量的变 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 化趋势，其中Pn为最终预测数量，乃为初始数量，k为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说 法正确的是 ①.当k∈(-1,0)，则这期间种群数呈下降趋势 ②.当k∈(0,1)，则这期间种群数呈下降趋势 ③.若初始数量=1000，年增长率为k=0.03,则2年后预测种群数量约为1061 ④.若初始数量=3000，年增长率为k=-0.02,则2年后预测种群数量约为2991 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)已知函数f(x)=lnx+x+ax+2在点(2，f(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求实数a的值： (2)求f(x)的单调区间. 17.(13分)已知函数f)=sin(x+孕(o>0,xeR,且f)的最小正周期为元. (1)求ω的值： (2)将函数f)的图象向右平移匹个单位，得到函数g()的图象.设函数()=g()-f,求()的单调 6 递增区间. 试题第3页（共6页） 18.(14分)为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之 前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案 0 的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 于 方案二 120人 30人 40人 60人 兵 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件 (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率： 张 (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的 概率： 江 (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为P,假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其 擗 他班级学生支持方案二的概率估计值记为乃·试比较P与乃的大小.（结论不要求证明） 游 的 些 试题第4页（共6页） 19.(15分)已知函数fe)=5 nco+co>0). 2 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使函数∫(x)存在. (1)求f (2)求f(x)在区间 21 0 上的最大值和最小值， 条件①：函数∫：)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为号 条件@：[)5 : 条件③： 函数∫()在区 否上其有单调性，且〔)1 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 凝 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 20.(15分)已知函数f(x)=(a-1)e-ex-ax(a∈R). (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若∫(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围： (3)当1<α<2时，直线y=t与曲线y=f(x)有三个交点，设t的取值集合为(p,q),求q-P的取值范围. 21.(15分)设自然数n≥3，由n个不同正整数4,4,4，a,构成集合S={4,42,,a},若集合S的每 个非空子集所含元素的和构成新的集合P,记crd(P)为集合P元素的个数 (1)已知集合A=1,2,3,4},集合B=1,2,4,8},分别求解card(Pa),card(Pg). (2)对于集合S={4,4,4,a},若crd(Ps)取得最大值，则称该集合s为“极异集合” ①求card(Ps)的最大值（无需证明）. ②已知集合S={4,4,4,a}是极异集合，记d=4-Y-1求证：数列{d}的前n项和D.≥0. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选择性必修第二册导数+第三册+集合与命题逻辑+不等式+三角函数 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 5．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 10．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 12．已知函数的图象如图所示，则________． 13．设正实数满足，则有最小值为___________. 14．已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取范围是______. 15．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则下列说法正确的是 ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 ④．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 17．（13分）已知函数，且的最小正周期为． (1)求ω的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 18．（14分）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．（15分）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 21．（15分）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11． ____________________ ____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷01 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题4分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][CD] 10[A][B][C]D] 款 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 之 豪 12. 1 14 15 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数字第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (道9并)道S患索谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 (女SI)0z :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选择性必修第二册导数+第三册+集合与命题逻辑+不等式+三角函数 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 5．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 10．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 12．已知函数的图象如图所示，则________． 13．设正实数满足，则有最小值为___________. 14．已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取范围是______. 15．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则下列说法正确的是 ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 ④．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 17．（13分）已知函数，且的最小正周期为． (1)求ω的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 18．（14分）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．（15分）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 21．（15分）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019选择性必修第二册导数+第三册+集合与命题逻辑+不等式+三角函数 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.集合M={x3x-1>5},N=0,1,2,则MnN=() A.1,2,3} B.{2,3} C. D.3 2.下列结论正确的是() A图 B.(cos1)'=-sinl C.(e+2)=e+2 D.(n(2x))'= 3.已知(1+i)z=4,则=() A.1 B.2 C.√5 D.22 4.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是() A.f(x)=In(x+1) B.f(x)=2 C.f(x)=x D.f(x)=3-1 5.“1是1<1成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知实数c<0<a<b,则下列不等式不成立的是() b、a4 A. C.b-cb a b B.S、c D.Itb>1 a-c a 7.函数f(x)=x3+ax2+bx+a在x=1处有极值10，则a,b的值是（) 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a=-11,b=4 B.a=-4,b=11 C.a=11,b=-4 D.a=4,b=-11 8.将函数f)=m+刀(@>0)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则o的最 6 小值为() A B. 2-3 10 D.3 9.股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为.已知某 支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称 为“涨停板”)，最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设x个交易日后 该股票价格达到60元每股，则x的最小值为（)（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A.7 B.8 C.9 D.10 10.设函数f(x)={x -k,x<0, 若关于x的方程∫(x)=c-1恰有两个不同的实数解，则满足条件的实 Inx+1-,x>0 数k的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.(亡+2)4的二项展开式中，第1项是 ；常数项是 12.已知函数y=Asin(ox+p)(o>0,-π≤p<)的图象如图所示，则p= 3匹 4 2π 13. 设正实数x,y满足x+=1,则y+ +二有最小值为 14.已知函数f(x)= [Vx+1,x>0 当a=0时，f(0)=;若f(x)在R上单调递增，则实数a的取范 x+a,x≤0 围是 15.某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：=1+k)”(k>-1)来研究种群数量的变 化趋势，其中P为最终预测数量，B为初始数量，k为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说法 正确的是 ①.当k∈(-1,0)，则这期间种群数呈下降趋势 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②.当k∈(0,1)，则这期间种群数呈下降趋势 ③.若初始数量日=1000，年增长率为k=0.03,则2年后预测种群数量约为1061 ④.若初始数量乃=3000，年增长率为k=-0.02,则2年后预测种群数量约为2991 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)已知函数f(x)=lnx+x2+x+2在点(2，f(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直. (I)求实数a的值： (2)求∫()的单调区间， 17.(13分)已知函数f)=sin(ax+孕(o>0,x∈R,且f)的最小正周期为元. (1)求ω的值： (②)将函数fw)的图象向右平移严个单位，得到函数8(x)的图象.设函数M)=g()-田)，求()的单调 6 递增区间。 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(14分)为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前 集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的 支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件， (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率： (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的 概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为.假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其 他班级学生支持方案二的概率估计值记为乃.试比较P。与乃的大小.（结论不要求证明） 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(15分)已知函数fx)=√3 sin cos+cosg-2o>0). 2 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在. 的值： (2)求f(x)在区间 2 ,0 上的最大值和最小值。 条件①：函数f(,的图象的相邻两个对称中心之间的距离为受： 条件②： 条件@：函数f(四在区间[周上具有单词性，且(》(81 注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(15分)已知函数f(x)=(a-1)e*-e-ax(a∈R) (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围： (3)当1<a<2时，直线y=t与曲线y=f(x)有三个交点，设t的取值集合为(p,q),求q-卫的取值范围. 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(15分)设自然数n≥3，由n个不同正整数4,4,4，a构成集合S={4,,4,a},若集合S的每一 个非空子集所含元素的和构成新的集合P,记card(P)为集合P,元素的个数 (1)已知集合A={1,2,3,4},集合B={L,2,4,8},分别求解card(Pa),card(P). (2)对于集合S={4,凸，，4}，若crd(P)取得最大值，则称该集合s为“极异集合 ①求card(P)的最大值（无需证明）. ②已知集合S={4,4,4,a}是极异集合，记d=4-2-1求证：数列{d,}的前n项和Dn≥0. 7/7 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 2．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数运算法则及复合函数求导法则，逐一验证四个选项的正误即可 【详解】对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为是常数，由常数的导数为0，得，故B不正确； 对于C，因为，故C不正确； 对于D，因为.故D正确. 3．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以． 4．下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数的性质逐项判断即可． 【详解】对于，在上单调递增，不符合题意，故A错误； 对于，在上单调递减，符合题意，故B正确； 对于，在上单调递增，不符合题意，故C错误； 对于，，则 在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，故D错误． 5．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 6．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 7．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 9．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. 10．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 12．已知函数的图象如图所示，则________． 【答案】 【分析】首先根据周期求，再根据“五点法”求. 【详解】由图象可得，解之得， 将代入，可得，则，可解得. 13．设正实数满足，则有最小值为___________. 【答案】5 【分析】利用的代换，将转化成，根据基本不等式求得的最小值为，进而得到的最小值为. 【详解】因为正实数满足，则. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 14．已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取范围是______. 【答案】 0 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 15．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则下列说法正确的是 ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 ④．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】①③ 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于①，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，①正确； 对于②，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，②错误； 对于③，，即2年后预测种群数量约为1061，③正确； 对于④，，即2年后预测种群数量约为2881，④错误. 故选：①③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 17．（13分）已知函数，且的最小正周期为． (1)求ω的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω. （2）由（1）求出，利用和差的正弦及辅助角公式化简求得，再利用正弦函数单调性求出递增区间. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得， 所以. （2）由（1）得，， 则， 由，得， 所以的单调递增区间为. 18．（14分）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)估计该校高三男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为 (2) (3) 【分析】（1）利用频率估计概率，分别计算男、女生支持方案一的频率即可； （2）分“男生支持+1名女生支持”和“男生不支持+2名女生都支持”两类，结合独立事件、互斥事件概率公式计算求和； （3）对比目标班支持方案二的频率与全年级平均频率的大小，即可判断与的关系. 【详解】（1）由样本数据，抽取的男生中支持方案一的共50人，抽取男生总人数为， 因此男生支持方案一的概率估计值为； 抽取的女生中支持方案一的共80人，抽取女生总人数为， 因此女生支持方案一的概率估计值为. （2）记“抽取的1名男生支持方案一”为事件，“抽取的2名女生中恰有人支持方案一”为事件（）， “3人中恰有2人支持方案一”为事件， 则，， ，. 由题意知，事件与事件相互独立， 因此， 即 “3人中恰有2人支持方案一”的概率为. （3）全年级支持方案二的总频率， 该年级某班有20名男生和30名女生，设该班支持方案二的频率估计值为， 则. 即该班支持率低于全年级平均水平，因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，故. 19．（15分）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择条件①或③，的值为 (2)在区间上的最大值为，最小值 【分析】（1）先化简函数，再根据所选条件确定的值，进而求出的值. （2）先求出的范围，再根据三角函数的性质求出给定区间上的最值. 【详解】（1） 选条件①：根据题意，解得，即，因为，所以， 则，． 选条件②：由，可得， 因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在. 选条件③：因为函数在单调，且， 所以，解得，即，因为，所以， 则，． （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先求出函数在处的函数值与导数值，再利用点斜式写出切线方程； （2）先对因式分解，分析 的零点个数与的关系，再通过分类讨论不同下的单调性与极值点情况，确定的取值范围； （3）先求出的表达式，构造差函数 ，再通过求导分析的单调性与端点极限，从而确定 的取值范围. 【详解】（1） ，所以， 又 ，所以，所以切线方程为， 即. （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 当时，令，得或， 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 综上：的取值范围为. （3）由（2）可得， ， 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为. 21．（15分）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 【答案】(1),； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据定义求出集合的子集个数即可得出结果； （2）①根据元素个数可得集合共有个非空子集，的最大值为 ； ②根据极异集合的定义，利用等比数列前项和即可得只需证明，再由元素互异性和元素的取值范围可得结论. 【详解】（1）已知集合的非空子集有15个： 计算可得，即． 集合的非空子集有15个： 计算可得，即 （2）①集合共有个非空子集，的最大值为 ②， 即证 不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为 集合是极异集合，，代表有个不同的正整数， 即， 所以中有个元素，由元素互异性可得 又，即可得， 因此数列的前项和. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $