江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省无锡市第一中学高一下学期期中考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的内角所对的边分别为，若，，，则 A. 6 B. 7 C. 8 D. 2.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是 A. B. C. D. 3.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4.已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知，，且，则 A. 3 B. C. 3或1 D. 3或 6.龙光塔位于锡山山顶，它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，400多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶A距离地面的高度.选取与山脚B在同一水平面的两个测量点C与现测得，，，在C和D处测得A的仰角为和，则塔顶距离地面高度h必定可以表示为 A. B. C. D. 7.已知G为的重心，线段 AB上一点N满足， CN与AG相交于点M，则 A. B. C. D. 8.在等腰梯形ABCD中，已知，，将沿直线BD翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知向量，，则下列说法中正确的是 A. 当时， B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 与向量垂直的单位向量为 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是 A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则P是的垂心 D. 若，则O是的重心 11.如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面内，则下列说法中正确的是 A. 当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B. 当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时， C. 当时，取得最小值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为________. 13.若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为________. 14.已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，是夹角为的两个单位向量，， 若，可以作为一个基底，求实数的取值范围； 若，垂直，求实数的值． 16.本小题15分 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点， 证明：平面； 证明：平面平面 17.本小题15分 在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的内角的对边分别为且满足______. 求角A的大小； 若BC边上的中线长为，，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.本小题17分 如图，在三棱锥中，底面，平面平面 求证：； 若，，M是PB的中点，分别在线段上移动. ①求PB与平面PAC所成角的正切值； ②若平面，求线段FN长度取最小值时二面角平面角的正切值． 19.本小题17分 对于一个向量组，且，令，如果存在，使得，，则称是该向量组的“k向量”. 设，，若是向量组的“1向量”，求实数x的取值范围； 若，，向量组，是否存在“向量”?若存在，求出正整数t；若不存在，请说明理由； 已知，，均是向量组，，的“1向量”，若，，，其中A是的内角，设的内角的对边分别为，若，求周长的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意知， 根据余弦定理可得， 即 故选： 2.【答案】A  【解析】解：如图是边长为2的正三角形ABC的直观图， 则，为正三角形ABC的高CD的一半， 即， 则高， 的面积为 故选： 3.【答案】D  【解析】解：对于A、若，，则或，故A错误；          对于B、若，，则或l与m异面，故B错误； 对于C、若，，，则与的位置不确定，故C错误； 对于D、若，，由面面垂直的判定可知，故D正确. 4.【答案】C  【解析】解：由正弦定理及 得， 则的形状为等腰三角形. 故选 5.【答案】B  【解析】解：因为， 所以， 即， 即， 即，解得 6.【答案】A  【解析】解：在中，已知，，， 根据三角形内角和为，可得， 在中，由正弦定理得，即， 因为， 所以 因为在C处测得A的仰角为 ， 所以 7.【答案】C  【解析】解：设D为BC的中点，连接AD，如图所示， 因为G为的重心，所以点G在的中线AD上，且满足， 又，可得， 设，，则， 可得， 因为， 所以， 所以， 由，可得，解得， 即，可得 故选： 8.【答案】B  【解析】解：在等腰梯形ABCD中，，，易得， 当平面平面BCD时，三棱锥的体积最大， 又，平面平面， 平面， 的中点O为球心，取的中点E，则OE为的中位线， ，平面， 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点E为该圆的圆心，其半径， 所截的截面面积为 故选 9.【答案】BC  【解析】解：当时，，则，， ， ，故A错误； B.当时，， 向量在向量上的投影向量为，故B正确； C.当与的夹角为锐角时，且，解得：，故C正确； D.设与向量垂直的单位向量为， 则，解得：或 故或，故D错误. 10.【答案】BCD  【解析】解：对于A，由正弦定理得， 因为，所以B只有一个解， 所以符合条件的只有一个，故A错误； 对于B，由及正弦定理得，即， 所以是等腰三角形，故B正确； 对于C，由，得， 所以，， 同理，， 故P是三角形ABC的垂心，故C正确; 对于D，设AB边上的中点为D，则， 因为， 所以，所以， 所以 又点O为公共端点， 所以O，C，D三点共线，即点O在AB边的中线上， 同理可得点O也在AC，BC两边的中线上， 所以点O为的重心，故D正确. 11.【答案】AC  【解析】解：当M为中点时，取中点N，连接，， MB， 由于正方体棱长为2，根据正方体性质，易证， 则平面截正方体所得截面为平行四边形，所以选项A正确； 当时，将四面体ABMD补成长方体， 则外接球直径，则， 则外接球体积，所以选项B错误； 将平面与平面展开在一个平面上，在展开图中，连接AC， 此时的最小值即为展开图中AC的长度， 其中，，， 根据余弦定理， 即， 所以，即取得最小值，所以选项C正确； 由题，在正方体中，易证，， 因为，均在平面内， 所以平面， 因为在平面内， 所以， 同理可证， 因为BD，在平面内，， 所以平面， 则点关于平面的对称点在直线上， 连接并延长到，使得为关于平面的对称点， 则， 所以的最小值即为点与线段上的点的距离的最小值， 当点M与C点重合时，最小， 由题可知，平面是正三角形，其边长， 令点A到平面的距离为d， 则由可得， 解得， 所以点到平面的距离为， 故，， 因为在正方体中，， 由余弦定理， 即，，解得 故的最小值为，故D不正确. 12.【答案】  【解析】解：设圆台上、下底面半径分别为r，R，且，高为h，则， 因为母线与底面成角，则，母线长为2， 由圆台轴截面的周长为，得， 解得， 则圆台的体积为 13.【答案】  【解析】解：三个力平衡，， ， 设与的夹角为， 得， 因为，所以 14.【答案】  【解析】由余弦定理可得，，所以， 即， 由正弦定理可得，，又， 所以， 即， 由于三角形是锐角三角形，故，即， 由锐角三角形条件，，可得， 对，用正弦定理化简：， 因为，所以，则， 故的取值范围是 15.【答案】因为，可以作为一个基底， 所以，不共线， 又，不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为 因为垂直， 所以， 即 ， 又 ，，的夹角为， 所以， 所以， 解得   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：设，交于O，连结DO， 在正三棱柱中且， 所以四边形是平行四边形，O为的中点. 因为D为AC的中点， 所以OD为的中位线， 因为AB1平面，平面， 所以平面 在正三棱柱中，且，， 所以四边形是正方形，所以 因为D，E分别是AC，的中点， 所以DE是的中位线， 所以 又因为，所以 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC， 所以 在正三角形ABC中， D为AC的中点， 所以 因为，，平面， 所以平面 因为A1平面，所以A1 因为，，BD，平面BDE， 所以平面 因为平面， 所以平面平面  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：①在中，由，得，由正弦定理，得， 则， 结合已知条件得， 因为， 所以或，解得； ②由题意有， 即有，由正弦定理得：， 又， 所以，则， 所以； ③在中因为，由正弦定理得， 所以，即， 又因为A，，， 所以， 所以； 设BC的中点为D，所以， 所以，即 因为， 所以，解得或舍去， 所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】证明：作，因为平面平面PBC，平面平面，平面PAC， 所以平面PBC，因为平面PBC，所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，AH，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PAC，所以 由得平面PAC，所以PC为PB在平面PAC的射影，为PB与平面PAC所成角， 在中，，在直角中，， 所以PB与平面PAC所成角的正切值为 过F作AB的垂线，垂足为 Q，过 Q作，交 BC于N， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为， PA，平面PAB，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 同理平面PAC，因为，FQ，平面FQN，所以平面平面 因为平面FQN，所以平面 设，则，，，， 在直角中， 所以当时，线段FN长度取最小值， 即点，， 易证为二面角的平面角，此时其正切值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解由题意可得：， ，， 则，解得： 存在“向量”，且“向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“向量”，只需使， 因为，，，，，，，， 所以， 故只需使，即， 即，，当或7时，符合要求， 故存在“向量”，且“向量”为 由题意，得，2，即，即222， 同理22，2， 三式相加并化简，得：2， 即，， 所以，， ，得， 因为，所以，在中，， 即，又因为， 所以， 因为，所以，， 即，所以，即周长范围  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$