专题07 一次函数72道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题07 一次函数72道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 一次函数图象平移问题 题型二 一次函数与方程、不等式综合问题 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型四 一次函数与几何综合 题型五 一次函数最值问题 题型六 一次函数图象旋转折叠问题 题型七 一次函数的规律探究问题 题型八 一次函数实际应用压轴题 【经典例题一 一次函数图象平移问题】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数. （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数的图象与平行，求. 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上.将向左平移2格，再向上平移4格. （1）请在图中画出平移后的； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是__________； （3）在图中画出的高. 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C． （1）直接写出点M的坐标为　 　； （2）求直线MN的函数解析式； （3）若点A的横坐标为﹣1，将直线MN平移过点C，求平移后的直线解析式． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数为和睦函数．例如：一次函数，它的和睦函数为，已知一次函数，请回答下列问题： (1)直接写出该一次函数的和睦函数； (2)画出该一次函数的和睦函数的图象，并写出当时，该一次函数的和睦函数的最大值和最小值； (3)已知一次函数的图象与函数的和睦函数的图象只有一个交点，写出k的取值范围． 当时，在上随的增大而增大， 当时，，当时，， 5．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）（1）如图1，观察函数y=|x|的图象，写出它的两条的性质； （2）在图1中，画出函数y=|x-3|的图象； 根据图象判断：函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向 平移 个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向 平移 单位得到； ②根据从特殊到一般的研究方法，函数y=|kx+3|（k为常数，k≠0）的图象可以由函数y=|kx|（k为常数，k≠0）的图象经过怎样的平移得到． 6．（2024·湖南益阳·模拟预测）阅读下面材料： 我们知道一次函数（，是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 （，是常数）的形式，点到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵ ∴其中 ∴点到直线的距离为： 根据以上材料解答下列问题： （1）求点到直线的距离； （2）如图，直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 7．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）探究函数的图象与性质.请将探究过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 4 … ______，______； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)函数的图象可以看作是由函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度，再向______（填“上”或“下”）平移个______单位长度而得到； (5)以下关于函数的结论，正确的是______.（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称． 8．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x|的图象： ①列表：完成表格 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ②画出y＝|x|的图象； （2）结合所画函数图象，写出y＝|x|两条不同类型的性质； （3）写出函数y＝|x|与y＝|x﹣2|图象的平移关系． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【经典例题二 一次函数与方程、不等式综合问题】 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 11．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 13．（24-25八年级下·湖南常德·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 14．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点C、D，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点、B，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交、于点M、点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当，且点N是的中点时，请求出m的值． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 16．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 18．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【经典例题三 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 19．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 20．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 21．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 22．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 23．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 24．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，直线：与直线：．相交于点． (1)求的值； (2)垂直于x轴的直线与直线，，分别交于点，，垂足为点，设点的坐标为，若线段长为2，求a的值． 25．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标都是方程的解，点的坐标都是方程的解，连接． (1)根据题意，可得点的坐标为，则点的坐标为______；点的坐标为______． (2)点的坐标为，过点作射线轴，交轴于点，点在射线上以每秒1个单位长度的速度从点出发运动（不与点重合），连接，试猜想之间的等量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若点的运动时间为秒，求三角形的面积（用含的式子表示）． 26．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线于点D，E．设点P运动的时间为t，点D的坐标为_____________，点E的坐标为_____________；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使?若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由； (4)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值． 27．（23-24八年级下·湖南常德·期末）已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点． (1)求a的值． (2)点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为． ①当点B与点A重合时，求m的值； ②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值． 【经典例题四 一次函数与几何综合】 28．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 29．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交x轴于点B和点C，点D是直线上的一个动点． (1)求m，n的值． (2)若的面积是面积的2倍，求点D的坐标． 30．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (1)若直线与直线有交点，求的面积； (2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，交x轴于A，交y轴于B．另一直线交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知． (1)求解析式． (2)P，Q分别在线段和上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，轴？ 32．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，直线分别交轴，轴于点，，点在直线上，点关于轴的对称点为，连接，； (1)求直线的解析式； (2)点为平面内一动点，连接，，若，求点的坐标． 34．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点B，直线与y轴交于点D，与直线交于点，点M是线段上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线于点N．设点M的横坐标为m． (1)求a的值和直线的函数表达式． (2)以线段，为邻边作，直线与x轴交于点E． ①当时，设线段的长度为l，求l与m之间的关系式； ②连接，，当的面积为3时，请求出m的值． 35．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 36．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行和了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … (1)自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值：其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中部分对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分： (3)①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小：当时，随的增大而______； ③若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． (4)若点是函数的图象上的一动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．请写出与之间的关系式． 【经典例题五 一次函数最值问题】 37．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 38．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 39．（2024·湖南株洲·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 40．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 41．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）． 42．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________； (2)求直线的解析式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 43．（2025·湖南岳阳·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 44．（2024八年级下·湖南怀化·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． (1)点M的坐标为____________________； (2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 45．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）阅读材料： 一次函数的图像是一条直线，因此，解析式也称为直线方程，也可以表示为的形式． 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点P到直线的距离． 根据以上材料，解决下列问题： (1)问题1：点到直线的距离为______； (2)问题2：已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数b的值； (3)问题3：如图，设点P为问题2中上的任意一点，点A、B为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 【经典例题六 一次函数图象旋转折叠问题】 46．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 47．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，直线与坐标轴相交于、两点，将沿过点的直线折叠，使点与轴上的点重合，折痕为． (1)求点、的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若点为直线上的一点，且，求点的坐标 48．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．把矩形沿对角线所在的直线折叠，使点落在点处，与轴相交于点． (1)求证； (2)求点的坐标； (3)若点是线段上一点，当的面积为时，求点的坐标． 49．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与x轴交于点A，与直线交于点P． (1)求出直线的解析式； (2)当时，直接写出时自变量x的取值范围； (3)直线绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标． 50．（23-24八年级下·湖南株洲·周测）如图所示，把长方形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且， (1)求所在直线的解析式； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积． (3)求所在的直线的函数解析式． 51．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，已知长方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，，，D、E分别为上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． (1)点B的坐标是______； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 52．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若A对应的点坐标为，画出；若与成中心对称，请直接写出对称中心坐标为　 　； (2)在x轴上有两个动点M和N （点M在点N的左边），其中，若要使得四边形的周长最小，则请直接写出点M的坐标为　 　； (3)在平面直角坐标系中，存在一点P，使得以A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件点P的坐标为　 　．    53．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，直线交于点C，且C点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点，若，求此时点P的坐标． （3）如图2，点E的坐标为，将直线绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线，点分别为直线上的两个动点，是否存在点，使得是以M点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 【经典例题七 一次函数的规律探究问题】 55．（2025·湖南岳阳·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． (1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； (2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 56．（2024·湖南湘潭·三模）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为． 根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．    (1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像； (2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过） 57．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 58．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 59．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 60．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 61．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 62．（2024·湖南株洲·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究： 【测量数据】 小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表： 杯子的个数（个） 1 2 3 4 5 杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 【建立模型】 根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式． 【应用模型】 请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里． 63．（2024八年级下·全国·专题练习）小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长． 小星的探究过程如下： (1)小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题． (2)小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值： x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0 y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0 在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）． ②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象 (3)小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）． 【经典例题八 一次函数实际应用压轴题】 64．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）荆楚文化源远流长，在第二届楚文化节来临之际，某商家预测A种文创饰品能够畅销．根据预测，每件A种文创饰品节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商家节后每件A种文创饰品的进价是多少元？ (2)若该商家在节前和节后共购进A种文创饰品400件，且总费用不超过4600元，并按照节前每件20元，节后每件16元全部售出，则该商家节前购进多少件A种文创饰品获得总利润最大？最大总利润是多少？ 65．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 66．（24-25八年级下·湖南常德·期中）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 67．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（）与甲车行驶时间x（）的函数关系如图所示，请结合图像信息，解答下列问题： (1)A、C两地的距离为_________，甲车行驶速度为_________，乙车行驶速度_________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 68．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，而“函”同“含”，是包含之意．于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”．如《代数学》第七卷中有“凡式中含天，为天之函数”（在古代以天、地、人、物四元表示未知数）．在初中阶段的函数学习中，我们历经“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．现在我们定义：若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．例如：． (1)若函数过点和，求k和b的值； (2)已知函数（a为常数），当时，y有最小值5，求a的值； (3)已知关于x的方程有三个解，求m的取值范围． 69．（2025·湖南常德·模拟预测）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 70．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出当取何值时，选择银卡消费更合算． 71．（2025·湖南湘潭·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 72．（2025·湖南湘潭·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数72道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 一次函数图象平移问题 题型二 一次函数与方程、不等式综合问题 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型四 一次函数与几何综合 题型五 一次函数最值问题 题型六 一次函数图象旋转折叠问题 题型七 一次函数的规律探究问题 题型八 一次函数实际应用压轴题 【经典例题一 一次函数图象平移问题】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数. （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数的图象与平行，求. 【答案】（1）（2）1 【分析】（1）将代入可求m;（2）由题意，得，求m，再代入求值. 【详解】解：（1）将代入，得.所以. （2）由题意，得.解得.所以 【点睛】考核知识点：一次函数性质.理解一次函数性质是关键. 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上.将向左平移2格，再向上平移4格. （1）请在图中画出平移后的； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是__________； （3）在图中画出的高. 【答案】（1）见解析；（2），；（3）见解析 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可； （2）根据平移的性质求解； （3）根据题意作出图形即可． 【详解】解：（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即，画对（见图） （2）根据平移的性质，， （3）根据题意，作画对（见图） 【点睛】本题考查作图及平移变换，熟练掌握平移的性质是解题关键. 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C． （1）直接写出点M的坐标为　 　； （2）求直线MN的函数解析式； （3）若点A的横坐标为﹣1，将直线MN平移过点C，求平移后的直线解析式． 【答案】（1）（﹣2，0）；（2）y＝3x+6；（3）y＝3x+3 【分析】（1）由点N（0，6），得出ON＝6，再由ON＝3OM，求得OM＝2，从而得出点M的坐标； （2）设出直线MN的解析式为：y＝kx+b，代入M、N两点求得答案即可； （3）根据题意求得A的纵坐标，代入（2）求得的解析式建立方程，求得答案即可． 【详解】（1）∵N（0，6），ON＝3OM，∴OM＝2，∴M（﹣2，0）． 故答案为（﹣2，0）； （2）设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，把点（﹣2，0）和（0，6）分别代入上式，得：，解得：k＝3，b＝6，∴直线MN的函数解析式为：y＝3x+6． （1）把x＝﹣1代入y＝3x+6，得：y＝3×（﹣1）+6＝3，即点A（﹣1，3），所以点C（0，3），∴由平移后两直线的k相同可得：平移后的直线为y＝3x+3． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是本题的关键． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数为和睦函数．例如：一次函数，它的和睦函数为，已知一次函数，请回答下列问题： (1)直接写出该一次函数的和睦函数； (2)画出该一次函数的和睦函数的图象，并写出当时，该一次函数的和睦函数的最大值和最小值； (3)已知一次函数的图象与函数的和睦函数的图象只有一个交点，写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为10，最小值为 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图像是解题关键． （1）根据相关函数的定义直接写出； （2）根据相关函数的增减性结合的范围求得最值； （3）结合函数图像判断求解． 【详解】（1）解：根据相关函数的定义，可得：； （2）解：如下图， 当时，在上随的增大而增大， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为，最大值为； 同理，在上随的增大而减小， 所以的最大值为， 综上所述，当时，该一次函数的和睦函数的最大值为10，最小值为； （3）解：， 当时，， 则一次函数必过点， 如图， 当一次函数图象与函数的函数的图象平行时，， 此时， 令，则，过点，图象与函数的函数的图象只有一个交点； 如图， 当一次函数图象与函数的函数的图象平行时，， 此时， 则，解得：，则，过点，图象与函数的函数的图象只有一个交点； 如图， 当一次函数图象与轴平行时，， 此时，图象与函数的函数的图象只有一个交点； 综上，一次函数的图象与函数的和睦函数的图象只有一个交点时，或． 5．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）（1）如图1，观察函数y=|x|的图象，写出它的两条的性质； （2）在图1中，画出函数y=|x-3|的图象； 根据图象判断：函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向 平移 个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向 平移 单位得到； ②根据从特殊到一般的研究方法，函数y=|kx+3|（k为常数，k≠0）的图象可以由函数y=|kx|（k为常数，k≠0）的图象经过怎样的平移得到． 【答案】（1）答案见解析；（2）画图见解析，右，3；（3）①左， ②答案见解析. 【分析】（1）根据函数的图象得到函数的性质即可； （2）画出函数y=|x-3|的图象根据函数y=|x-3|的图象即可得到结论； （3）①根据（2）的结论即可得到结果； ②当k＞0时或k＜0时，向左或向右平移个单位长度． 【详解】解：（1）①函数y=|x|的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； （2）函数y=|x-3|的图象如图所示： 函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向左平移单位得到； ②当k＞0时，向左平移个单位长度； 当k＜0时，向右平移个单位长度. 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 6．（2024·湖南益阳·模拟预测）阅读下面材料： 我们知道一次函数（，是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 （，是常数）的形式，点到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵ ∴其中 ∴点到直线的距离为： 根据以上材料解答下列问题： （1）求点到直线的距离； （2）如图，直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据题意则，将点Q代入公式即可解得. 根据题意直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线为， 在直线上任意取一点，当时，．代入P点即可解得. 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵点， ∴． ∴点到到直线的距离为； （2）直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线为， 在直线上任意取一点， 当时，． ∴． ∵直线， ∴ ∴， ∴两平行线之间的距离为． 【点睛】b本题考查平移，熟练掌握平移的性质及运算法则是解题关键 7．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）探究函数的图象与性质.请将探究过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 4 … ______，______； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)函数的图象可以看作是由函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度，再向______（填“上”或“下”）平移个______单位长度而得到； (5)以下关于函数的结论，正确的是______.（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称． 【答案】(1)x为全体实数 (2)1，3 (3)见解析 (4)右，3；上，1 (5)①③ 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象： （1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据平移的性质解答即可； （5）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是：x为全体实数， 故答案为：x为全体实数； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：1；3； （3）解：画出函数的图象如图： ； （4）解：函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移个1单位长度而得到； 故答案为：右，3；上，1； （5）解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①③． 8．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x|的图象： ①列表：完成表格 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ②画出y＝|x|的图象； （2）结合所画函数图象，写出y＝|x|两条不同类型的性质； （3）写出函数y＝|x|与y＝|x﹣2|图象的平移关系． 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）①y＝|x|的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小，②函数有最小值，最小值为0；（3）函数y＝|x|图象向右平移2个单位得到函数y＝|x﹣2|图象 【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可； ②由表格中的点即可得到相应的函数图像； （2）根据图象所反映的特点写出即可； （3）根据函数的对应关系即可判定． 【详解】解：（1）①填表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … ②如图所示： （2）①y＝|x|的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小，②函数有最小值，最小值为0； （3）函数y＝|x|图象向右平移2个单位得到函数y＝|x﹣2|图象． 【点睛】本题考查了描点法画函数图象的方法，一次函数的图象的运用，一次函数的性质以及一次函数图象的几何变换． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【答案】（1），；（2）图象见解析，； 【分析】此题考查了一次函数与几何变换，涉及的知识有：平移的性质及图象的画法，熟练掌握平移性质是解本题的关键． （1）利用平移规律“上加下减”确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律确定出平移后函数解析式，然后再画出图形． 【详解】解：（1）由图象知，l1是将的图象向上平移3个单位长度得到的，其函数表达式为； 是将的图象向下平移2个单位长度得到的，其函数表达式为； （2）将的图象向上平移2个单位长度得到的函数表达式为； 将的图象向下平移3个单位长度得到的函数表达式为； 函数图象如图所示： 故答案为：yx+2；yx﹣3． 【经典例题二 一次函数与方程、不等式综合问题】 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（）把点的坐标代入直线的解析式求出的值； （）根据点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算； （4）观察图象，可直接写出的解集． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， 解得：； （2）解：把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：对于直线，当时，，解得，则， 对于直线，当时，，解得，则， ∴； （4）解：观察图象，可知解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 11．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①，；②，， 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组：， 解得：， 故点； 则的面积； （2）解：①设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为，； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：   ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 13．（24-25八年级下·湖南常德·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）（或） 【分析】本题考查了分式的加减运算，直线与坐标轴的交点，将分式正确的进行拆分是解题的关键 （1）根据，计算求解即可； （2）当时，当时，可求，，则，①当时，，计算求解即可；②由，可得 ，计算求解即可． （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：当时，，则， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②解：∵， ∴， ∴的值为． （3）解： ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点C、D，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点、B，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交、于点M、点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当，且点N是的中点时，请求出m的值． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)①；② 【分析】（1）由直线的函数表达式求得点P，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①表示出M、N的坐标，即可求得； ②由题意可知，解方程即可． 本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵直线的函数表达式为，且它过点， ∴， ∴， 把、代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①令，由，解得， ∴， 设点Q的横坐标为m，则，， ∴； ②当，且点N是的中点时，则， ∴， 解得， 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 16．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 18．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过数形相结合的思想作答即可； （3）①通过观察图象求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴的解集为， ∵直线与直线的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想， 故选. （3）解：①∵直线与直线的交点坐标火， ∴关于，的二元一次方程组的解为； ②由关于轴的对称点为，在图中作， ∵与轴交于， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． 【经典例题三 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 19．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式，点的坐标，直线的交点坐标以及三角形的面积． （1）根据的解析式求出P点的坐标，再代入的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式． （2）当时，设、分别交x轴于点B、C，求出、与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）解：把代入中，，解得：， ， 把P代入中，， 解得：， ． （2）解：设交x轴，y轴分别于点A，B， 令，则， ， 令，则，解得：． ， ， ． 20．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)的函数解析式为；的函数解析式为 (3)6 【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴点P的坐标为 （2）解：设的函数解析式为，代入点P， 解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为，代入点P，点A得； ，解得 ∴的函数解析式为； （3）解：过点P作，交于N，    ∵P， ∴， 点Q为与轴的交点， ∴Q， ∴， ． 21．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，求三角形的面积，掌握求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，求出x的值得到点A的坐标；当求出y的值得到点B的坐标； （2）在平面直角坐标系中描出点和点的坐标，过两点作直线即可； （3）根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：． 22．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)； (4)当的面积为6时，的值为4或11． 【分析】本题主要考查对于一次函数的应用． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可； （2）分两种情况，写出的长度即可； （3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：当点在上即时，， ∴， 当点在上即时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵点的坐标为， ∴； （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； ∴当的面积为6时，的值为4或11． 23．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． 把点P坐标代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：∵：，：， 当，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，直线：与直线：．相交于点． (1)求的值； (2)垂直于x轴的直线与直线，，分别交于点，，垂足为点，设点的坐标为，若线段长为2，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由点在直线：上，可得；由点在直线：上，可得，进而可得的值； （2）由题意知，当时，；当时，．由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴； ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴,． （2）解：由题意知，当时，； 当时，． ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为或． 25．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标都是方程的解，点的坐标都是方程的解，连接． (1)根据题意，可得点的坐标为，则点的坐标为______；点的坐标为______． (2)点的坐标为，过点作射线轴，交轴于点，点在射线上以每秒1个单位长度的速度从点出发运动（不与点重合），连接，试猜想之间的等量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若点的运动时间为秒，求三角形的面积（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及一次函数图象与性质、角度之间的关系探究、平面直角坐标系中三角形面积的表示等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由点是与的交点，联立方程组求解即可得到点的坐标；再由在轴上，令，代入求解即可得到点的坐标； （2）根据题意，分两种情况：当点在轴上方时；当点在轴下方时，由、，得到轴，在和中，由直角三角形两锐角互余列式求解即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况：当点在轴上方时；当点在轴下方时，、、，得到轴，，，，由点的运动时间为秒，得到，求出、和，数形结合表示出三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点的坐标都是方程的解，点的坐标都是方程的解， 联立，解得， ， 在轴上， 当时，，即； 故答案为：，； （2）解：或， 理由如下： 根据题意，分两种情况： 当点在轴上方时，如图所示： 、， 轴， 过点作射线轴，交轴于点， ，， 在中，；在中，； ， 即， ， ，即； 当点在轴下方时，如图所示： 、， 轴， 过点作射线轴，交轴于点， ，， 在中，；在中，； ， ， ； 综上所述，之间的等量关系是或； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点在轴上方时，如图所示： 、、， 轴，，，， 过点作射线轴，交轴于点， ，， 若点的运动时间为秒， ， 在中，，则； 在中，，则； ， 三角形的面积（用含的式子表示）为； 当点在轴下方时，如图所示： 、、， 轴，，，， 过点作射线轴，交轴于点， ，， 若点的运动时间为秒， ， 在中，，则； 在中，，则； ， 三角形的面积（用含的式子表示）为； 综上所述，在（2）的条件下，若点的运动时间为秒，求三角形的面积（用含的式子表示）． 26．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线于点D，E．设点P运动的时间为t，点D的坐标为_____________，点E的坐标为_____________；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使?若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由； (4)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为， (2) (3)存在，，的面积为 (4)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直线与x轴垂直时点的坐标特点，两点间距离的求法是解题的关键． （1）将代入，求出点A的坐标为，同理求出点B的坐标为；将代入，求出b的值； （2）由（1）知，直线的表达式为，根据P点运动情况可知点，再根据轴分别求出； （3）求出，利用，即可求解； （4）当过点A以及和平行时，满足题设要求，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴点A的坐标为， 令，则， ∴点B的坐标为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，直线的表达式为， 设点， ∵轴， ∴， 故答案为：； （3）解：存在t，使，理由如下： ∵点P在线段上， ∴， 由（2）知， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （4）解：当过点A以及和平行时，满足题设要求， 当过点A时，将点A的坐标代入得：，则， 当和分别平行时，或， 综上，或． 27．（23-24八年级下·湖南常德·期末）已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点． (1)求a的值． (2)点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为． ①当点B与点A重合时，求m的值； ②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）根据“等幂函数”定义设解析式，再将代入即可得解； （2）①先分别写出A和B坐标，再根据题意建立方程求解即可； ②画出图形，将坐标转化为线段长度，进而分类讨论去绝对值求解即可； ③画出的图象，进而找出M、N，然后设出M、N的坐标，然后表示出和，代入求解即可． 【详解】（1）由“等幂函数”定义可设，， ∵经过点， ∴， 解得； （2）由（1）可知， ∵点A的横坐标为m， ∴， ∵点A“关于的等幂点”为点B， ∴， ①∵点A和点B重合， ∴， 解得； ②如图所示， 由题可知， ∴，， ∴； ③的图象如图所示， ∵， ∴点M在直线上， 设，即， ∵， ∴点N在直线上， ∵点N的横坐标是点M的3倍， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的点的坐标特征、新定义内容，解题关键是理解“等幂函数”的定义以及利用数形结合思想． 【经典例题四 一次函数与几何综合】 28．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）由直线与直线平行，得到直线为，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式； （2）根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ， 直线为， 点在直线上， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）在直线中，令，则， 解得：， ， 在直线中，令，则， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ． 故四边形的面积是． 29．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交x轴于点B和点C，点D是直线上的一个动点． (1)求m，n的值． (2)若的面积是面积的2倍，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把A点坐标代入直线上，得到m的值，由A点在直线上，把A点坐标代入直线解析式中，得到n的值； （2）根据直线，的解析式，得到B，C点的坐标，从而得到的长，得到面积，设出D点纵坐标，根据面积的关系，求出该纵坐标，代入直线的解析式，得到D点坐标，即可作答． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与交于点， ∴把代入， 得， 则把代入，得 解得， （2）解：依题意，， ∴， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为 ∵， 当时，则， ∴， 即点B的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积为， 设D的纵坐标为， ∴的面积为， ∵的面积是面积的2倍， ∴ 解得， 把代入，得， ∴； 把代入，得， ∴； 综上：点D的坐标为或． 30．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (1)若直线与直线有交点，求的面积； (2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点C作于点E，于点D，将点代入得，则直线的表达式为，进而可求出点，点，则，，再根据点得，，据此可得的面积； 先求出，设点P的坐标为，则，进而得，进而得，由此解出或，则点P的坐标为或 【详解】（1）解：过点C作于点E，于点D，如图所示： 线与直线有交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 当时，，解得：， 点，点， ，， 点， ， ； （2）存在． ，， ， 点P在y轴上， 设点P的坐标为， ， ， 当的面积与的面积相等时， ， ， 或， 点P的坐标为或， 即当点的坐标为或时，的面积与的面积相等． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，交x轴于A，交y轴于B．另一直线交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知． (1)求解析式． (2)P，Q分别在线段和上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，轴？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出A，B点坐标，利用求出C，D点坐标，利用待定系数法求解； （2）作轴于点S，设，，表示出，表示出线段，，的长度，证明与全等，可求解． 【详解】（1）直线，当时， 解得， ∴， 当时，， ∴ ∵， ∴，， ∴点，点， 将点C，D代入直线得， ， 解得， ∴直线； （2）作轴于点S，如图， 设， ∵轴， ∴Q点的纵坐标为， Q点在直线上，代入纵坐标得 解得：， ∴， 设线段与y轴交于点R，则， 在中，，， ∴ ∵动点P，Q的速度一样， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即，解得， ∴． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查一次函数的待定系数法和动点问题，解题关键是掌握待定系数法和利用三角形全等的判定和性质求解问题． 32．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，满足条件的所有点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答； （1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）根据，解出或，将其代入即可解答； （3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答； 【详解】（1）解：对于，当时，． 所以点E的坐标为． 将，代入， 得， 解得． ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 解得或． 当时，， 解得； 当时，， 解得． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在． 设点，则，． 所以，． 分两种情况： ①当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 33．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，直线分别交轴，轴于点，，点在直线上，点关于轴的对称点为，连接，； (1)求直线的解析式； (2)点为平面内一动点，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的求解，求出长是解答本题的关键． （1）先求出，的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，从而得到F点的坐标，求出，从而得出，根据角形面积得到，到即，即可得出结果． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， ， 当，， 点关于轴的对称点为， ， 设的解析式为， ，解得：， 的解析式为 （2）如图，过点Q作轴，交与点F，连接， 在直线中， 当，， ， 设直线的表达式为， ， 解得 直线的表达式为，当时，， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或． 34．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点B，直线与y轴交于点D，与直线交于点，点M是线段上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线于点N．设点M的横坐标为m． (1)求a的值和直线的函数表达式． (2)以线段，为邻边作，直线与x轴交于点E． ①当时，设线段的长度为l，求l与m之间的关系式； ②连接，，当的面积为3时，请求出m的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可； ②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数和几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 35．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形是矩形； (3)点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形的性质和矩形，正方形的性质，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质求得点，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出，即可得出结论； （3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：延长交轴于点， ∵，， ∴，轴， ∵点， ∴点，点， 设直线的解析式为， 把、代入得： ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 如图 ∵点A的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动， ∴， ∴， ∴， ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动， ∴， ∴点， 由（1）知，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形 ∴四边形是矩形； （3）解：由（2）知，，，， ∴或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴或， ∴或，即点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 36．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行和了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … (1)自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值：其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中部分对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分： (3)①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小：当时，随的增大而______； ③若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． (4)若点是函数的图象上的一动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．请写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)①；②增大；③或 (4) 【分析】本题考查函数探究，涉及函数图象与性质、描点法作函数图象，根据题意，数形结合是解决问题的关键． （1）由题意可知函数，将代入即可得到答案； （2）由题中给出的表格，采用描点法作图即可得到答案； （3）由（2）中图象，数形结合即可得到答案； （4）根据题意，分三种情况，作出图象求解即可得到答案． 【详解】（1）解：对函数，当时，， 故答案为：； （2）解：题中表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … 函数图象，如图所示： （3）解：①由（2）中图象可知，最低点坐标是； ②时，随的增大而减小：当时，随的增大而增大； ③若关于的方程只有一个解，如图所示： ， 的取值范围是或； 故答案为：①；②增大；③或； （4）解：设点的横坐标为，的面积为， 当时，；当时，； 当时，，如图所示： ； 当时，，如图所示： ； 当时，，如图所示： ； 综上所述，与之间的关系式为． 【经典例题五 一次函数最值问题】 37．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】(1)共有6种购买方案； (2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； （2）解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 38．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 39．（2024·湖南株洲·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）找到点关于直线的对称点，然后根据待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设点，则，，分别计算直线经过点时和直线经过点时的值，即可获得答案； （3）找到点关于直线的对称点，根据题意易得点，，分别计算直线经过点和时、直线经过点和时的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：找到点关于直线的对称点， 将点、代入直线， 可得，解得， ∴； （2）设点，则，， 当直线经过点时， 可得，解得； 当直线经过点时， 可得，解得． ∴点横坐标最大值与最小值的差为； （3）找到点关于直线的对称点， 根据题意，点，， 当直线经过点和时，将两点代入解析式， 可得，解得， 当直线经过点和时， 将两点代入解析式， 可得，解得， ∴的取值范围为． 40．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 41．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）． 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求得A，B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）过点E作轴于G，证明得出，设，则，得出E点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点F的坐标； （3）如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接．根据角平分线的性质定理可得，即，进而得到当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为；再根据勾股定理求得，最后运用等面积法求得的长即可 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点E作轴于G， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴E点的坐标为， ∵， 设直线的解析式为：， 代入点A和点E的坐标得： ，解得：， ∴的解析式为， ∴当时，， ∴与y轴的交点F坐标为； （3）解：如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、非负数的性质，三角形面积公式、全等三角形的判断和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解本题的关键． 42．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________； (2)求直线的解析式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 【答案】(1)，8 (2)， (3)①② 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）由，即可得点B坐标，继而得，从而得到点A坐标及线段长； （2）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （3）①由ASA证明，即可求解； ②先证四边形OMDN面积为定值，而，要使面积最大，求面积最小即可，当取最小值时，面积最小，即当时，取最小值，进而求解． 【详解】（1）∵， ， ∴点B坐标（0，4）           将点B坐标带入， 解得： 得到解析式： 令，解得，所以A点坐标                 故答案为：，8； （2）解：∵， ∴ 点E坐标 设的解析式为，分别代入 得到：  解得： 所以解析式是：， 因为D的横坐标为，代入解析式，得到 即点的坐标为； （3）①线段与线段数量关系是， 证明：， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ②解：， ， ，，，， ，， ， 四边形OMDN面积为定值， ， 要使面积最大，求面积最小即可， ， 当取最小值时，面积最小， ，，， ， 当时，取最小值， ， 即，面积最小为， 则面积， 即面积最大为． 43．（2025·湖南岳阳·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（2）    （3）图见解析       【分析】（2）①把代入，得，由此即可求出的值；②把代入，得，解方程即可求出与的值，进而可求出的值； （3）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；①由函数图象即可直接得出该函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出直线，由函数图象即可直接得出时的取值范围． 【详解】解：（2）①把代入，得： ； ②把代入，得： ， 解得：或， ； （3）画出该函数的图象如下： ①由函数图象可知：该函数的最小值为； ②在同一平面直角坐标系中画出直线， 由函数图象可知：时的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，根据两条直线的交点求不等式的解集，代数式求值，求函数值，用表格表示变量间的关系，绝对值方程等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 44．（2024八年级下·湖南怀化·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． (1)点M的坐标为____________________； (2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标； （2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解． 【详解】（1）解：对于， 令，得； 令，得， 解得：， ∴， ∵点M为线段AB的中点， ∴，即， （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则， ∴, ∵, ∴， ∵点是固定点， ∴， ∴周长的最小值为, 又, ∴ ∴, ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为 又过点的直线与交于点， ∴， 又直线和解析式与直线交于点， ∴， ∵, ∴， 整理得，， 解得，，或， ∴点的坐标为：或． 45．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）阅读材料： 一次函数的图像是一条直线，因此，解析式也称为直线方程，也可以表示为的形式． 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点P到直线的距离． 根据以上材料，解决下列问题： (1)问题1：点到直线的距离为______； (2)问题2：已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数b的值； (3)问题3：如图，设点P为问题2中上的任意一点，点A、B为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)3 (2)或； (3)最大值和最小值分别为和 【分析】本题主要考查一次函数综合题、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，理解题意，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值． （1）先把直线化为，然后再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）把直线整理得，然后再利用点到直线的距离公式求解即可； （3）先求圆心到直线的距离，判断出P到的最大距离与最短距离，然后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：直线整理，得， ∴， ∵且与直线相切， ∴点C到直线的距离等于半径1， ∴， ∴或，解得或． （3）解：如图，过点C作于点D． ∵， ∴， ∴圆心到直线的距离， ∴上的点到直线的最大距离为，最小距离为， ∵， ∴的最大值为，最小值为． 【经典例题六 一次函数图象旋转折叠问题】 46．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 47．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，直线与坐标轴相交于、两点，将沿过点的直线折叠，使点与轴上的点重合，折痕为． (1)求点、的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若点为直线上的一点，且，求点的坐标 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) (3)或 【分析】此题考查了坐标与图形、勾股定理、一次函数和几何综合等知识． （1）当时，，当时，，解得，即可求出点A、B的坐标； （2）求出，，设点，则，，在中，由勾股定理得，，求出，得到，利用待定系数法即可求出折痕所在直线的解析式； （3）设点P的坐标为，则，由，，得到，解得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∵直线与坐标轴相交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴由勾股定理得， 由折叠可知，， ∴， 设点，则，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 设折痕所在直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴折痕所在直线的解析式为； （3）设点P的坐标为， 则， ∵，， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 48．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．把矩形沿对角线所在的直线折叠，使点落在点处，与轴相交于点． (1)求证； (2)求点的坐标； (3)若点是线段上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判断及性质等知识点，利用矩形的性质判定出三角形全等是解题的关键． （1）利用矩形的性质判定出即可解答； （2）利用勾股定理建立等量关系运算求解即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，根据三角形面积公式求出的横坐标后代入直线的解析式运算求解即可得到的纵坐标． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵矩形沿对角线所在的直线折叠， ∴，， ∴在和中， ， ∴（AAS）， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 设，则， ∴在中：，即：， 解得：， ∴； （3）解：设直线的解析式为：，分别代入，，可得： 解得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴把代入可得：， ∴． 49．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与x轴交于点A，与直线交于点P． (1)求出直线的解析式； (2)当时，直接写出时自变量x的取值范围； (3)直线绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，、， 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由函数图象可以直接得到答案； （3）对于本题中的等腰的腰不确定，需要分类讨论：以为底和为腰，由两点间的距离公式和方程思想解答． 【详解】（1）解：把和点 分别代入， 得， 解得， 则直线的解析式为：； （2）解：如图所示，， 所以，当 时，； （3）解：过点P作轴，交于点M， 由题意可知，，，， 当时，点B有3种位置使得为等腰三角形 ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， ③当时，设，由等面积法可得， 解得 ， ∴， 当 时，点B有1种位置使得为等腰三角形， 当时，， ∴， 综上所述，点B有4种位置使得为等腰三角形，坐标分别为，、，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，主要运用了待定系数法确定函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解题的关键． 50．（23-24八年级下·湖南株洲·周测）如图所示，把长方形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且， (1)求所在直线的解析式； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积． (3)求所在的直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)重叠部分的面积为10 (3)直线的解析式为 【分析】（1）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点A、C的坐标，根据所得A、C两点的坐标用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）由折叠的性质可得，设，结合，可得，在中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到的值，再证可得，这样即可由三角形面积公式求出的面积了． （3）由（2）可知，的长，从而可得点E、F的坐标，由此即可用待定系数法求得直线的解析式了． 【详解】（1）解：∵， ∴ 可设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴ ， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴，， ∴，， 设直线解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线解析式为； （2）解：由折叠的性质可知， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． 51．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，已知长方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，，，D、E分别为上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． (1)点B的坐标是______； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】（1）根据，，知． （2）设，则，可得，解得，故，，证明，知，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （3）求出；再分当时，P在线段上，当时，P在线段上，当时．P在线段上三种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据翻折的性质可得，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （3）解：，， ； ， 当时，P在线段上， ， 此时不存在点P，使； 当时，P在线段上，如图： 此时， ，，， ， 解得：（不符合题意，舍去， 当时．P在线段上，如图： ， ， ，， 在线段上，不存在P，使， 综上所述，P在运动过程中，不存在时刻t，使． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形面积，翻折问题等，解题的关键是掌握翻折的性质． 52．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若A对应的点坐标为，画出；若与成中心对称，请直接写出对称中心坐标为　 　； (2)在x轴上有两个动点M和N （点M在点N的左边），其中，若要使得四边形的周长最小，则请直接写出点M的坐标为　 　； (3)在平面直角坐标系中，存在一点P，使得以A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件点P的坐标为　 　．    【答案】(1)图见解析，对称中心坐标为 (2) (3)；； 【分析】（1）找到以点C为旋转中心旋转得到对应点，顺次连接即可得到，由点的对应的点坐标为，得到平移规律为向下平移6个单位，按照相同的规律得到点的对应点，顺次连接即可得到，根据成中心对称图形的对应点的连线必过对称中心，得到对称中心，再写出对称中心坐标即可； （2）利用网格特点，则，则四边形的周长，当取最小值时，四边形的周长最小，进一步求出点M的坐标即可； （3）利用网格的特点和平行四边形的判定作出满足要求的平行四边形，写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，即为所求；对称中心坐标为；    故答案为： （2）如图，利用网格特点，则， 则四边形的周长，    当取最小值时，四边形的周长最小， 由网格的特点可知，连接交x轴于点，当时，且点在左边时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵点B关于x轴的对称点是， ∴, 即当点N移动到点，当点M移动到点时，有最小值，即为的长， ， 即四边形的周长最小值为， 设直线的解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， 即点， ∵， ∴, 即当四边形的周长最小时，点M的坐标为； 故答案为： （3）如图，点；；即为满足要求的点；    即点P的坐标为；；； 故答案为：；；； 【点睛】此题考查了平移的作图、中心对称图形的作图、平行四边形的判定和性质、求一次函数解析式、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握作图方法和数形结合是解题的关键． 53．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，直线交于点C，且C点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点，若，求此时点P的坐标． （3）如图2，点E的坐标为，将直线绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线，点分别为直线上的两个动点，是否存在点，使得是以M点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或 【分析】（1）先求解的坐标为，再把的坐标代入，从而可得答案； （2）先求解，如图，设直线交y轴于点M，设点P坐标为，求解的解析式为 求解，利用，列方程，解方程可得答案； （3）先求解直线为 ，①当点M在直线上方时，设点，点，而点，过点分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点，证明，可得，再列方程组，解方程组可得答案，②当点M在下方时，同①理可得答案． 【详解】解：（1）为直线的交点， ， 把代入 得： 故直线解析式为：． （2）对于直线， 当时，有，解得，即， 如图，设直线交y轴于点M，由轴，设点P坐标为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 得：， 解得：， 当时， ， ， 或 解得：或28， 即点P的坐标为或． （3）设直线为 解得： 所以为：， ①当点M在直线上方时， 设点，点，点， 过点分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点， ， ， ， 即， 解得：， 故点N的坐标为， ②当点M在下方时，如图， 同①理可得：， 即：点N的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图形面积与坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用，掌握以上知识是解题的关键． 54．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；③，． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可证明； （2）①先利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式为，根据，利用两点的距离求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； ②如图所示，以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求； 直线沿轴翻折恰好经过点， 直线与直线关于y轴对称， 点C与点G关于y轴对称， ， ， ； ③由②知点C与点G关于y轴对称，且，由①知， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ，即， 解得：，或， ， ， 综上，点G的坐标为，． 【点睛】本题考查了对称作图，对称的性质，一次函数综合问题，等腰三角形的性质，两点的距离，掌握对称的性质是解题的关键． 【经典例题七 一次函数的规律探究问题】 55．（2025·湖南岳阳·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． (1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； (2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 【答案】(1) (2)块 【分析】（）根据题意列出一次函数即可； （）由题意得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴最多可以安装块减速块． 56．（2024·湖南湘潭·三模）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为． 根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．    (1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像； (2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】(1)，见解析 (2)当时，y随x的增大而增大 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算，根据面积公式，分类计算即可． （2）根据图像的性质描述即可． （3）分类计算即可． 【详解】（1）∵，，点D为中点， ∴， ∴， 当时，； 当时，    过点P作于点E， 则， ∴， 故， 画图像如下：    ． （2）根据图像，可得当时，y随x的增大而增大． （3）∵， ∴或， ∵保留1位小数，误差不超过， ∴或， 故或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三线合一性质，勾股定理，三角函数，函数的图像，误差，熟练掌握三线合一性质，勾股定理，三角函数是解题的关键． 57．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先由得到点的坐标，然后求得点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点、点的坐标； （2）根据点、、的坐标得出点的规律，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：， 点的坐标为， 轴交直线于点，当时，， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 直线交轴于点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴交直线交轴于点，当时，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：由，，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到系列点的坐标得出规律． 58．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】(1)详解解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点即可； （2）由点的分布可得是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）根据（1）中各点的分布规律，可知是关于的正比例函数， 设关于的函数解析式是（）， 当时，， ∴，则， ∴关于的函数解析式是； （3）由（2）可知，在这种状态下一天的漏水量， 答：这种漏水状态下一天的漏水量大约是． 【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． 59．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 60．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 【答案】(1) (2) (3)线段的长度不变，且，理由见解析 【分析】本题考查求一次函数表达式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，理解题意，正确求得函数表达式，以及利用全等三角形的性质探究线段关系是解答的关键． （1）先直线的表达式求得点A坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可； （2）先求得点D坐标，进而求得直线的表达式，再和直线的表达式联立方程组求解即可； （3）如图1，先推导出，则，再证明得到，在图2中，过Q作轴于H，证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， ∴当时，，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵点D为的中点，， ∴， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴点E坐标为； （3）解：线段的长度不变，且． 理由：如图1，∵直线与x轴交于点B， ∴当时，由得，则， ∴，则， 又，， ∴， ∴，即， 在图2中，过Q作轴于H， 则，又，， ∴， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴ ∴ ∴． 61．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 62．（2024·湖南株洲·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究： 【测量数据】 小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表： 杯子的个数（个） 1 2 3 4 5 杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 【建立模型】 根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式． 【应用模型】 请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里． 【答案】画图见解析，，最多可以将23个杯子放入橱柜里． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 先描点、连线，画出函数图像，根据函数图像判断函数类型，然后用待定系数法求得函数解析式，将函数关系式代入，求出n的最大值即可． 【详解】解：【建立模型】根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中画出函数图像如下： 这些点在一条直线上，即该函数为一次函数， 设y与x之间的函数关系式为． 将点、代入可得： ，解得 ∴y与x之间的函数关系式为． 【应用模型】当时，有，解得：， 所以最多可以将23个杯子放入橱柜里． 63．（2024八年级下·全国·专题练习）小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长． 小星的探究过程如下： (1)小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题． (2)小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值： x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0 y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0 在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）． ②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象 (3)小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）． 【答案】(1)3.6； (2)①2.48；②见解析； (3)，函数图象见解析； (4)2.8cm或3.1cm． 【分析】（1）先通过勾股定理求出BC的长度，根据EC＝2cm，即可求出BE的长度，最后通过BP＝1．5PE即可求出BP的长度； （2）①根据题意可知AP=AQ，当BP＝0时则点P与点B重合，此时勾股定理求出AE的长度，用AE-AQ即可求出QE的长度；②根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据BP是△PQE中某条边的1.5倍，可得到BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP；将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，直接写出y与x的函数表达式再画出该函数的图象即可； （4）结合图象，分别找出与（2）中的两个函数图象的交点，找出交点的横坐标即可． 【详解】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC=（cm） ∵EC＝2cm， ∴BE=BC-EC=8-2=6（cm）， ∵BP＝1.5PE， ∴设PE=m，则BP=1.5m， 列出方程得：m+1.5m=6，解得：m=2.4， ∴BP=1.5m=1.5×2．4=3.6（cm）， 故答案为：3.6； （2）①∵以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q， ∴AP=AQ， 当BP=0时，点P与点B重合，此时AP=AB=6cm， ∴AQ=6cm， 由（1）可得：BE=6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE=（cm）， ∴QE=AE-AQ=≈2.48（cm）， 故答案为：2.48； ②如图： （3）∵BP是△PQE中某条边的1.5倍， ∴BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP； 将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2， ∴，， 故还需要画出的函数图象， 如图： （4）由图可知，与两函数的交点分别为点M和点N， ∵点M的横坐标约为2.8；点N的横坐标约为3.1； ∴当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为2.8cm或3.1cm， 故答案为：2.8cm或3.1cm 【点睛】本题主要考查了函数图象的画法，函数图象交点的意义以及勾股定理，仔细体会题意运用数形结合的思想来解决问题是解题的关键． 【经典例题八 一次函数实际应用压轴题】 64．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）荆楚文化源远流长，在第二届楚文化节来临之际，某商家预测A种文创饰品能够畅销．根据预测，每件A种文创饰品节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商家节后每件A种文创饰品的进价是多少元？ (2)若该商家在节前和节后共购进A种文创饰品400件，且总费用不超过4600元，并按照节前每件20元，节后每件16元全部售出，则该商家节前购进多少件A种文创饰品获得总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1)节后每件A种文创饰品的进价为10元 (2)节前购进300件A种文创饰品获得的总利润最大，最大总利润为3000元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式组和一次函数关系式，是解题的关键： （1）设节后每件A种文创饰品的进价为x元，根据节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的，列出方程进行求解即可； （2）设该商家节前购进m件A种文创饰品，获得的总利润为w元，根据题意，列出一次函数的解析式和不等式，求出的范围，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）设节后每件A种文创饰品的进价为x元，则节前每件A种文创饰品的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是所列方程的解且符合题意， 答：节后每件A种文创饰品的进价为10元． （2）由（1）可知，节前的进价为元， 设该商家节前购进m件A种文创饰品，获得的总利润为w元，则有： ， 由题意： ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且， 即节前购进300件A种文创饰品获得的总利润最大，最大总利润为3000元． 65．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 66．（24-25八年级下·湖南常德·期中）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务：万元、万元 任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台， 则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）， 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多． 67．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（）与甲车行驶时间x（）的函数关系如图所示，请结合图像信息，解答下列问题： (1)A、C两地的距离为_________，甲车行驶速度为_________，乙车行驶速度_________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 【答案】(1)420；100；60 (2) (3)小时或小时 【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可； （2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知，A、C两地的距离为， B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为， ∵乙车比甲车早小时到达目的地， ∴甲车行驶总时间为， ∴甲车行驶速度为． 故答案为：420；100；60； （2）由（1）可知，甲车行驶速度为， 则点的纵坐标为，即， 两车相遇的时间为， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当甲车到达B地前，可有， 解得， 当甲车到达B地后，可有， 解得， ∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 68．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，而“函”同“含”，是包含之意．于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”．如《代数学》第七卷中有“凡式中含天，为天之函数”（在古代以天、地、人、物四元表示未知数）．在初中阶段的函数学习中，我们历经“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．现在我们定义：若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．例如：． (1)若函数过点和，求k和b的值； (2)已知函数（a为常数），当时，y有最小值5，求a的值； (3)已知关于x的方程有三个解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或8 (3) 【分析】本题考查了绝对值函数、分段函数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种请：①当时；②当时；③当时；分别求解即可； （3）设，，依题可知，将，的图象表示在同一坐标系中，结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：将坐标和代入函数中， ∴， 解得：， （2）解：∵，当时，y有最小值为5， ∴①当时，由图象可知时，y有最小值为5， ∴， 解得： ②当时，由图象可知时，y有最小值为0，不符合题意； ③当时，由图象可知时，y有最小值为5， ∴， 解得： 综上：或8 （3）解：设，， 依题可知：， 如图所示，将，的图象表示在同一坐标系中， 直线恒过定点， 当直线过点时，此时恰有2个交点， 此时， 得：， ∴m的取值范围为． 69．（2025·湖南常德·模拟预测）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 70．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出当取何值时，选择银卡消费更合算． 【答案】(1)选择银卡消费：；选择普通票消费：． (2)点A坐标为，点坐标为，点坐标为 (3)当时，选择银卡消费更合算 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意和读懂函数图象是解题的关键． （1）根据总费用单次票价次数，可以直接列出普通票消费时y与x的函数关系；银卡用户根据：总费用银卡费用单次票价次数，直接列出函数表达式； （2）由函数图像可知，射线为普通消费方式，为银卡消费方式，过这一点且平行于x轴的为金卡消费方式；因为A点在y轴上，故，求出纵坐标，得到A点坐标；联立银卡与普通票消费时的函数表达式，即可求出B点坐标；由图像可知C点纵坐标为600，且在AC这条直线上，将代入此函数表达式，即可得到C点坐标； （3）根据函数图象找到银卡函数图象在其它两种消费对应的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，选择银卡消费：；选择普通票消费：． （2）解：在中，当时，， 点坐标为． 联立，解得． 点坐标为． 将时代入，解得， 点坐标为． （3）解：由函数图象可知，当时，选择银卡消费更合算． 71．（2025·湖南湘潭·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 72．（2025·湖南湘潭·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 【答案】(1)一次，y关于x的函数关系式为． (2)140，160；． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）由题意可得，，把代入（1）中求得的函数关系式，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入, 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 当运动心率应该控制在114次／分至133次／分时， 当时，，解得， ∴小美的年龄是周岁． 故答案为：140，160；． 学科网（北京）股份有限公司 $$