专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·湖南常德·阶段练习）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象如图所示，①方程的解为 ；②关于的不等式的解集为 ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 1．（24-25八年级下·湖南邵阳单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，函数和的图象相交于点．    (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． (3)求的面积． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）一次函数的图象如图所示，由图可知方程的解为 ．    3．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解； (3)若，求的取值范围． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． xx 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南娄底·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·单元测试）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是         （     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·湖南张家界·课后作业）如图，利用函像图像回答下列问题： （1）方程组的解为 ； （2）不等式2x＞-x＋3的解集为 ． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）已知， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：    (1)当时，x______； (2)当时，x_______； (3)当时，x_______； (4)当时，x________； 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2024）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式最值】 【例9】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【经典例题十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例10】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为如，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点的坐标； (2)若关于的一元二次方程为的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值； (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数,已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 【经典例题十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例11】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 5．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 7．（2025·广西南宁·一模）方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 8．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是 ． 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 10．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）如图，一次函数和的图象相交于一点，则关于x，y的方程组的解为 ． 11．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    13．（23-24八年级下·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  时间：2023年2月20日 例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·湖南常德·阶段练习）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象如图所示，①方程的解为 ；②关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据图象可知，一次函数y=kx+b的图象过点（-6，0），即当x=-6时，y=0，由此得出关于x的方程kx+b=0的解和关于的不等式的解集． 【详解】解：根据图象可知： ∵一次函数y=kx+b的图象过点（-6，0） ∴关于x的方程kx+b=0的解是x=-6； 则 关于的不等式可化为，，由k<0的解集为：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）（或） 【分析】本题考查了分式的加减运算，直线与坐标轴的交点，将分式正确的进行拆分是解题的关键 （1）根据，计算求解即可； （2）当时，当时，可求，，则，①当时，，计算求解即可；②由，可得 ，计算求解即可． （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：当时，，则， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②解：∵， ∴， ∴的值为． （3）解： ， 故答案为：． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 1．（24-25八年级下·湖南邵阳单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了定系数法求一次函数解析式，一次函数的平行问题，以及一次函数与坐标轴的交点．根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，求得函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∴把点代入得，， 解得， ∴，； ∴一次函数的解析式为． ∵时，；时，， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为和， ∴所围成的三角形的面积． 故答案为；16． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，函数和的图象相交于点．    (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）首先把代入，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值； （2）以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可； （3）分别求得A，B 坐标，即可得答案． 【详解】（1）把代入得，， 解得， ∴点P的坐标为， ∵函数的图象经过点P， ∴， 解得； （2）由图象得，不等式的解集为； （3）对于直线，当时，， 对于直线，当时，， ∴， ∴的面积． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，以及坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可． 【详解】解：A．由与x轴交于点，则，解得，故A错误，不符合题意； B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，若，则，故B错误，不符合题意； C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意； D．由直线与x轴交于点，则当时，函数，即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意． 故选：D． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式，由一次函数与的图象的交点的横坐标为即可判断甲，结合图象即可判断乙，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故甲正确； 由图象可得，当时，，故乙错误； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）一次函数的图象如图所示，由图可知方程的解为 ．    【答案】 【分析】方程的解其实就是求当函数值为0时，x的值，根据图象可得答案． 【详解】解：由一次函数图象可知：经过点（2，0）， ∴方程的解为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握如何通过图象解一元一次方程． 3．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点法作图即可作出函数的图象，图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解； （2）2x＋6＞0就是函数的图象位于x轴的上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：函数的图象如图所示： 观察图象知：该函数图象经过点， 故方程的解为； （2）观察图象知：当时，， 故不等式的解集为； （3）观察图象知：当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解答的关键是准确画出图形，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法，把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴对于一次函数，当时，， 即当时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解一次函数与轴的交点坐标为：，再结合图象求解即可． 【详解】解： 当，则， 解得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为：；如图， ∴当时，，当时，， 一次函数的图象上有，两点， ∴当时，则， ∴，， ∴，故D不符合题意，C符合题意； 当时，则， ∴的符号不确定，， ∴A，B都不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，由直线与轴的交点分别为，得到当时，，再由函数随的增大而增大，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点分别为， ∴当时，， 由图可知，函数随的增大而增大， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 1．（2025·湖南娄底·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 所以关于x的不等式的解集是， 所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·单元测试）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据直线与直线交于点，点A的横坐标为3，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据直线与直线交于点，点A的横坐标为3， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的应用等知识点，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果，熟练掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点， ∴，即：， ∴关于的方程组的解是； 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数与一次函数的图像交点解二元一次方程组，根据一次函数与一次函数的图象交点就是二元一次方程组的解进行解答即可． 将点带入可求得，进而可求解． 【详解】解：由题意得，对于， 当时，得：， 点P的坐标为， ∵一次函数与的图像相交于点， 二元一次方程组的解为：， 故答案为：． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． （1 ）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2 ）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可． 【详解】（1））解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ∴， 解得， ∵点又在上， ， 又∵， ∴， 解得， ∴． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是         （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个方程组的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，不符合题意； D、，解得：，符合题意； 故选：D． 【点睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．（23-24八年级·湖南张家界·课后作业）如图，利用函像图像回答下列问题： （1）方程组的解为 ； （2）不等式2x＞-x＋3的解集为 ． 【答案】 x>1 【分析】观察函数的图像与相交于（1,2），再根据交点坐标即可求出不等式2x＞－x＋3的解集． 【详解】解：（1）由图像知，直线x+y=3与直线y=2x相交于（1，2）， 所以方程组的解为； （2）∵ x+y=3与y=2x相交于(1，2)， ∴ 由图像知：不等式2x>-x+3的解集为x>1． 故答案为：；x>1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能根据函数图像的交点解方程组和不等式．一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）已知， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：    (1)当时，x______； (2)当时，x_______； (3)当时，x_______； (4)当时，x________； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先画出两个函数图象，然后根据图象可得两函数交点坐标为，进而得到的解； （2）根据函数图象可得，的图象在的上方； （3）根据函数图象可得，的图象在的上方； （4）根据函数图象可得，． 【详解】（1）解∶如图，      由图象知：当时，， 故答案为：； （2）由图象知：当时，， 故答案为：； （3）由图象知：当时，， 故答案为：； （4）由图象知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，关键是正确画出两函数图象，能从图象上得到正确信息． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2024）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法．先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可． 【详解】解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； ； 当，； 则． 故选：C． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，可知，，由得，再根据的面积为即可求解． 【详解】解：对于，当时，，得，当时，， ∴，，即：，， ∵，，则，， ∴的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与三角形面积，利用的面积为是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，三角形的面积． （1）分别令和得出对应的x和y的值即可得出两点的坐标； （2）过点E作于点F，根据四边形的面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当P在x轴负半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，进行讨论得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令时，得， 令时，得，解得， ∴，； （2）解：如图，过点E作于点F， 由（1）可得，， 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积， ∴， 分以下两种情况： ①当P在x轴负半轴上时， 设，则 ， 解得； ②当P在y轴负半轴上时， 设，则 ， 解得． ∴或． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式最值】 【例9】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值， 联立两直线解析式：， 解得， 把代入或解析式求得． 故选：C． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．画出函数的大致图象，结合函数的性质对各个选项进行一一判断，即可求解． 【详解】解：A．当时，原函数为， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，原函数为， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为，选项A正确，不符合题意； B．当时，， 解得：或， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 的图象与直线有两个交点， ，选项B正确，不符合题意； C．观察函数图象，可知：当时，，选项C错误，符合题意； D．当时，， 解得：或， 的图象与轴的交点坐标为，， 的图象与轴围成的几何图形的面积，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)2、 (2)图见解析 (3)图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 (4)，过程见解析 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质． （1）利用求函数值的方法解答即可； （2）利用描点法画函数图象即可； （3）根据图象写出两条结论即可； （4）根据和的图象交点即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：， （2）如图，即为所求， （3）由图象可知，图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大， 故答案为：图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 （4）如图，根据和的图象交点为，得到方程的解为， 【经典例题十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例10】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 （2）解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 （3）直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为如，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点的坐标； (2)若关于的一元二次方程为的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值； (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】解方程后，根据定义即可求点坐标； 求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出的值即可； 由直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求 【详解】（1）解：的解为或， ， ， 该方程的衍生点的坐标； （2）解：的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ， ； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：的值为或； （3）存在满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， 方程的衍生点为， 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解新定义衍生点，熟练掌握一次函数的图像及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，x (2)； (3)． 【分析】本题是两直线相交问题，考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，能够求得交点坐标并理解新定义的含义是解决本题的关键． （1）根据，的定义，即可求解； （2）根据，的定义，即可求解； （3）根据图象，结合，的定义即可． 【详解】（1）根据定义，得， 当时，， 故答案为：，x； （2）∵， 根据图象，可得x的取值范围：． 故答案为：． （3）∵， ∴， 解得x≥1． ∴x的取值范围是：． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数,已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 【答案】(1)①见解析；②；③或；④，， (2) 【分析】（1）①根据的取值范围可知确定衍生函数的图象；②根据点在函数图象上即可确定的值；③根据点在函数图象上即可确定的值；④根据一次函数的衍生图象与矩形的交点位置在和上，即可求解； （2）分三种情况：当直线在位置①时，函数和矩形有一个交点；当直线在位置②时，函数和矩形有三个交点；当直线在位置①②之间的位置时，函数和矩形有两个交点即可求解． 【详解】（1）解：：①根据题意可知一次函数的解析式：，当自变量和时函数的图象如图所示： ②，则， 故答案为：； ③∵点在这个一次函数的衍生函数图象上， ∴， ∴或； 故答案为：或； ④由图象可得，一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点位置在上， ∴交点坐标为：，，， 故答案为：，，； （2）解：函数可以表示为：，如图所示： ∵当直线在位置①时，函数和矩形有个交点， ∴当时，，， ∴，取， ∵当直线在位置②时，函数和图象有个交点， ∴当时，， ∴，取， ∵当在图①②之间的位置时，直线与矩形有个交点， 即： ， 故答案为： ． 【点睛】本题为一次函数的综合题，涉及到新定义，直线与图象的交点等相关知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例11】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，一次函数表达式交点问题，解题的关键是求出一次函数表达式． 如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点，然后求出所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后联立求解即可． 【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点 ∵，， ∴， 设所在直线的表达式为 ∴ ∴所在直线的表达式为 同理可得，所在直线的表达式为 根据对称可得，直线和的交点即为点P， 联立得， 解得 ∴点P的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程与一次函数的关系，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可得出点、、、的坐标，利用待定系数法求出直线、的解析式，联立两直线解析式构成方程组，解之即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的面积． 【详解】解：如图，点，，，，， 设直线的解析式为， 将点代入中，得， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线、的解析式成方程组：， 解得：， 点的坐标为， ． 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先利用得到点P坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 5．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与x轴的交点，以及一次函数的性质，先求出直线与x轴的交点横坐标，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：当时，， 解得． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，图象在轴上方． 故答案为：． 7．（2025·广西南宁·一模）方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系．熟练掌握两个一次函数的图象交点坐标为两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键． 依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为1，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数与函数的图象交点坐标为． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是， ∴的方程的解为：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，故①正确，②错误；由直线与直线的交点横坐标为，得到方程的解是，故③正确；由图象可知，当时，直线在直线的上方，得到不等式的解集是，故④错误；即可得到答案． 【详解】解： 由图象可知， 故①正确，②错误； 直线与直线的交点横坐标为， 方程的解是， 故③正确； 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 即， ， 不等式的解集是， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 10．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）如图，一次函数和的图象相交于一点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为，然后根据交点坐标必为两函数解析式所组方程组的解即可解答． 【详解】解：∵由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)A点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）令纵坐标为0求解即可； （2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为； （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 13．（23-24八年级下·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得，， 解得，， 点坐标为：； （2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； （3）解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  时间：2023年2月20日 例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    【答案】(1)C (2)图见解析， 【分析】（1）“方法二”体现的是数形结合的思想，即可得到答案； （2）方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标，画出函数图象，由交点的横坐标求得方程的解． 【详解】（1）解：根据题意可得： “方法二”体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （2）解：由题意可得： 方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标， 画出图如图所示：   ， 由图可知，该方程的解为． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的求解和一次函数的性质的综合题，掌握解一元一次方程的解法和数形结合思想是解题的关键． 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；；（3）①；；②或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①联立两个函数关系式，解方程组，求出点A的坐标即可；把代入函数解析式，求出点C的坐标即可； ②分两种情况：当点M在点A左侧，当点M在点A右侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：；；； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当点M在点A左侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 当点M在点A右侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与二元一次方程组的关系，解不等式，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合，并注意进行分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$