精品解析：江西省吉安市十校联盟学校2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

吉安市十校联盟2024—2025学年第二学期期中联考 九年级数学试卷 考试时间： 120分钟 全卷满分 120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项， 先判断是否是同类项解答A，B，再根据同底数幂相乘法则计算判断C，然后根据同底数幂相除法则计算判断D即可． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B. 每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% C. 每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% D. 每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108° 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得． 【详解】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确； B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为，超过，此选项正确； C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误； D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数． 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 正比例函数，反比例函数 两个函数图象的另一个角点为 ，选项错误 正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小， 选项错误 当或时， 选项正确 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键． 6. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点性质和翻折性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据翻折性质得到，根据等边三角形性质得到，根据三角形内角和定理得到． 【详解】∵D是中点， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵等边中，， ∴中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形，折叠，等腰三角形，三角形内角和等．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形性质，折叠图形全等的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形外角性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8. 江西省统计局发布的数据信息显示，2023年上半年，全省实现农林牧渔业总产值1354.9亿元，同比增长．1354.9亿用科学记数法表示为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1354.9亿， 故答案为：． 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 10. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质．根据题意并利用折叠的性质可得出，计算可得到，，利用三角形的外角性质得到，再等角对等边即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴，， ， ∴，即， 则的周长为， 故答案为：． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得BC=4，从而得到，进而得到，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点P在AC边上时， ∵， ∴； 当点P在AB边上，且时， ， ∴， ∴； 当点P在BC边上， ∵∠C=90°， ∴， ∴，解得：； 综上所述，的长为3或或． 故答案为：3或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2）1≤x＜3． 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集． 【详解】解：（1） = =3； （2） 由①得：x≥1 由②得：x＜3 所以该不等式组的解集为：1≤x＜3． 【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键． 14. 先化简，再求值：，其中x＝，y＝． 【答案】，﹣． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】（﹣x﹣y）÷ ＝﹣（x+y）•+ ＝﹣+ ＝， ∵x＝，y＝， ∴原式＝＝﹣． 【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解等知识，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 15. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 16. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图． （1）在上找点，使平分； （2）在上找点，使； 【答案】（1） 如图1，点为所作； （2）如图2，点为所作； 【解析】 【分析】（1）取格点使，作出的中点，利用等腰三角形的性质得到平分，延长交于； （2）取点关于的对称点，连接交于，利用对称得到，利用对顶角相等得到，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，坐标系，等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、轴对称等知识，掌握相关知识是解题关键． 17. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. （1）根据题意将点坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可； （2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可. 【小问1详解】 解：∵反比例函数()的图象经过点， ∴， 解得：， ∴原反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 ①当直线的时，函数图像如图所示， 此时，不符合题意，舍去； ②当直线的时，函数图像如图所示， 设的长度为，的长度为， 的面积为的面积的倍 ， ， 的长为， 当点在轴正半轴时，点坐标为， 点坐标为，， ， ， 直线解析式为：， 当点在轴负半轴时，点坐标为， 点坐标为， ， ， 直线解析式为：， 综上所述，直线解析式为：或. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 种类 A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车 根据以上信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的市民共有　 　人，其中选择B类的人数有　 　人； （2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图； （3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数． 【答案】（1）800，240； （2）补全条形图如下： （3）9.6万人． 【解析】 【分析】（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得； （2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得； （3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案． 【详解】（1）本次调查的市民有200÷25%=800（人）， ∴B类别的人数为800×30%=240（人）， 故答案为：800，240； （2）∵A类人数所占百分比为1﹣（30%+25%+14%+6%）=25%， ∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%=90°，A类的人数为800×25%=200（人）， （3）12×（25%+30%+25%）=9.6（万人）， 答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人． 【点睛】考点：1、条形统计图；2、用样本估计总体；3、统计表；4、扇形统计图 19. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示； （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． （1）根据题意过点O向下的箭头延长与过点P的水平延长线相交，再利用互余关系即可解答； （2）设，则，得到，在中， ，得到，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意知在中，，则，即． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即， 解得：， ∴． 答：气球A离地面的高度是． 20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE． （1）求证：DE与⊙A相切； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABC， ∴∠DAE＝∠ABC， ∴△AED≌△BAC（SAS）， ∴∠DEA＝∠CAB， ∵∠CAB＝90°， ∴∠DEA＝90°， ∴DE⊥AE， ∵AE是⊙A的半径， ∴DE与⊙A相切； （2）S阴影＝ 【解析】 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE，∠EAB＝60°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，BC=8， ∴∠CAE＝∠ACB，AC= ∴AE＝CE， ∴CE＝BE， ∴S△ABC＝AB•AC＝ ＝8， ∴S△ACE＝S△ABC＝＝4， ∵∠CAE＝30°，AE＝4， ∴S扇形AEF＝ ， ∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，) 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值． 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6． 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF． ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴． 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝时，y＝， ∴F（，）， ∴点N的纵坐标为． ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝， ∴点N的坐标为（，）或（，）． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 【答案】（1）①，；②，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解. （2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解； （3）证明：，，则，即可求解． 【详解】解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线， 则，，， ①， （1）如图1，在直角三角形能ABP中，， ∴， ； ②在图2中，在直角三角形能ABP中，，, ∴ 则，； （2）关系为：， 证明：如图3，由①得：，， 则； （3）在菱形中,分别为线段，的中点 ，， ，则， 同理，， ， ，， ，， 同理：， 则． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市十校联盟2024—2025学年第二学期期中联考 九年级数学试卷 考试时间： 120分钟 全卷满分 120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B. 每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% C. 每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% D. 每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108° 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大 6. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 8. 江西省统计局发布的数据信息显示，2023年上半年，全省实现农林牧渔业总产值1354.9亿元，同比增长．1354.9亿用科学记数法表示为 __________________． 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 分解因式：=_________________________． 11. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，其中x＝，y＝． 15. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 16. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图． （1）在上找点，使平分； （2）在上找点，使； 17. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 种类 A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车 根据以上信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的市民共有　 　人，其中选择B类的人数有　 　人； （2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图； （3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数． 19. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示； （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，） 20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE． （1）求证：DE与⊙A相切； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积． 22. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $