精品解析：山东省青岛黄岛区2024一2025学年下学阶段性学业水平检测七年级数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 七年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是必然事件的有（ ） ①明天是晴天； ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数； ③太阳从东方升起； ④同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个． A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：明天是晴天，是随机事件，故①不符合题意； 任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数，是随机事件，故②不符合题意； 太阳从东方升起，是必然事件，故③符合题意； 同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个，是随机事件，故④不符合题意； 故选D． 2. “天壤之间，水居其多”，苏轼的诗描绘了自然界中水资源的丰富．一个水分子的直径约为米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3. 一个正方体积木的棱长是米，它的体积是（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，负整数指数幂，根据正方体的体积公式结合积的乘方法则，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的体积为：立方米； 故选B． 4. 将五张除数字外完全相同的不透明卡片，分别标上数字1，2，3，4，5．反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被2整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先找出从中任意抽出一张卡片的所有等可能的结果，再找出抽出的一张卡片上的数字能被2整除的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题可知，反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片共有5种等可能的结果，其中，抽出的一张卡片上的数字能被2整除的结果有2和4，共2种， 则该卡片上的数字能被2整除的概率是， 故选：B． 5. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定：1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据平行线的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行能判断，则此项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意； D、，根据同位角相等，两直线平行能判断，不能判断，则此项符合题意； 故选：D． 7. 将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 8. 数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，，则________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：24． 10. 如图，要使，可以添加的条件是________．（填写一个你认为正确的即可） 【答案】或或或（任写一个即可） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平形；内错角相等两直线平行；添加条件即可． 【详解】解：由图可知：当时，（同位角相等，两直线平行）， 当或时，（同旁内角互补，两直线平行）； 当时，（内错角相等，两直线平行）； 故答案为：或或或（任写一个即可）． 11. 三角板是一种常用的绘图工具，将一副三角板按如图所示的方式摆放，使它们的最长边平行，则________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，如图，过点作，进而得到，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， 过点作，则：， ∴， ∴， 故答案为：75 12. 甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 13. 海豚能听到声音最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线经过平面镜上的点C反射后，反射光线恰好与平行，已知；，则________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平角的定义，求出的度数，再根据平行线的性质，得到，即可．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30 15. 综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入________个红球． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设口袋中应放入个红球，根据摸到一个球是红球的概率是建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设口袋中应放入个红球， 由题意得：， 解得， 故答案为：2． 16. 如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有________个三角形． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形可得每一个图形都比它前面一个图形多6个三角形，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中三角形的个数为（个）， 第2个图形中三角形的个数为（个）， 第3个图形中三角形的个数为（个）， 归纳类推得：第个图形中三角形的个数为个， 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 人勤不负好春光，春耕备耕正当时．如图，某农田中有一条笔直的灌溉渠，点C是农田外的一个水源，现要过水源点C修一条新灌溉渠，使与平行．请在图中画出新灌溉渠．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．先在上取一点，连接；再以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；然后以点为圆心，长为半径画弧，交于点；最后以点为圆心，长为半径画弧，与弧在射线相同的方向交于点，作直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求． 四、解答题（本题共7道小题，满分68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 【答案】（1）6 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算负整数指数幂与零指数幂、乘方，再计算加减法即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得； （3）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （4）先将式子改写成，再利用平方差公式计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行乘法公式的计算，合并同类项后，再进行除法运算，再将字母的值代入求值即可．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 20. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.81 （1）填空：________，________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； （3）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】（1）100，0.79，405 （2）0.8 （3）不会，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； 【小问3详解】 不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，不可能跟上一次完全相同． 21. 五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． （1）“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） （2）转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ （3）如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 【答案】（1）不可能事件 （2）转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为 （3）得不到购物券的概率大 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据题意可得转动一次转盘不可能获得100元的购物券，由此即可得； （2）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得； （3）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘得到购物券的结果、转动一次转盘得不到购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴转动一次转盘获得100元的购物券是不可能事件， 故答案为：不可能事件． 【小问2详解】 解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘获得50元购物券的结果只有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转盘获得20元购物券的结果有4种， ∴转动一次转盘获得50元购物券的概率为， 转动一次转盘获得30元购物券的概率为， 转动一次转盘获得20元购物券的概率为， 答：转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为． 【小问3详解】 解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， ∴转动一次转盘得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为， ∵， ∴得不到购物券的概率大． 22. 如图，的平分线交于点G，，． （1）判断与有怎样的位置关系？说说你的理由． （2）已知，求∠的度数． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质和判定方法，是解题的关键： （1）平角的定义结合等量代换，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得出结论； （2）根据平行线的性质，结合角平分线的定义，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来． 如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形． （1）通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________； （2）在计算时，可以利用（1）中的结论，请你补全计算过程： 解： ________ （3）利用以上的结论和方法计算： （4）根据你发现的规律填空： ________． 【答案】（1） （2），， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）图①中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图②中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）利用平方差公式计算即可得； （3）将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得； （4）利用平方差公式计算，得出一般规律即可得． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积， ∵图①和图②中阴影部分的面积相等， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：，，． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ， 故答案为：． 24. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【答案】问题解决：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【解析】 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 七年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是必然事件的有（ ） ①明天是晴天； ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数； ③太阳从东方升起； ④同一平面内三条直线两两相交，交点个数3个． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. “天壤之间，水居其多”，苏轼的诗描绘了自然界中水资源的丰富．一个水分子的直径约为米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体积木的棱长是米，它的体积是（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 4. 将五张除数字外完全相同的不透明卡片，分别标上数字1，2，3，4，5．反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被2整除的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（ ） A. B. C. D. 8. 数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，，则________． 10. 如图，要使，可以添加条件是________．（填写一个你认为正确的即可） 11. 三角板是一种常用的绘图工具，将一副三角板按如图所示的方式摆放，使它们的最长边平行，则________． 12. 甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是________的．（填“公平”或“不公平”） 13. 海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 14. 生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线经过平面镜上的点C反射后，反射光线恰好与平行，已知；，则________． 15. 综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入________个红球． 16. 如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有________个三角形． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 人勤不负好春光，春耕备耕正当时．如图，某农田中有一条笔直的灌溉渠，点C是农田外的一个水源，现要过水源点C修一条新灌溉渠，使与平行．请在图中画出新灌溉渠．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 四、解答题（本题共7道小题，满分68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 19. 先化简，再求值 ，其中，． 20. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.81 （1）填空：________，________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； （3）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 21. 五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． （1）“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） （2）转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ （3）如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 22. 如图，的平分线交于点G，，． （1）判断与有怎样的位置关系？说说你的理由． （2）已知，求∠的度数． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来． 如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形． （1）通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________； （2）在计算时，可以利用（1）中结论，请你补全计算过程： 解： ________ （3）利用以上的结论和方法计算： （4）根据你发现的规律填空： ________． 24. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$