精品解析：江西省南昌市2024-2025学年下学期期中八年级数学测试卷

2024－2025学年度第二学期期中测试卷八年级（初二）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，每个小正方形的边长为1，在中（其中点，点为网格格点），点，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 6. 如图，在中，，，点是斜边的中点，以为边作矩形，且经过点，则线段的长为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是________． 8. 如图，由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若正方形，的面积分别为16，25，则正方形的面积为______． 9. 式子化简的结果为_____． 10. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 11. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 12. 如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 15. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 16. 如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出边的中点； （2）在图2中，画出边的中点． 17. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）是直角吗？为什么？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 20. 如图，在中，，为钝角，作交于点． （1）若，则______； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图，在矩形中，，G，H分别在上，且，E，F分别是上的两个动点，点E从A向D移动，点F从C向B移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为t秒，其中． （1）四边形一定是 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）若四边形为菱形，求t的值； （3）若四边形为矩形，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中测试卷八年级（初二）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； ，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； 是最简二次根式，故选项C符合题意； ，不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选C． 2. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 即不可以是． 故选：A． 3. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 如图，每个小正方形的边长为1，在中（其中点，点为网格格点），点，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的中位线定理，根据勾股定理求得的长是解题的关键．首先依据勾股定理求得的长，然后再依据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可知：， ∵点D、E分别为， ∴． 故选：B． 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 6. 如图，在中，，，点是斜边的中点，以为边作矩形，且经过点，则线段的长为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键，由勾股定理可得，进而求得，由点是斜边的中点，可知，，再利用矩形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 则， ∵点是斜边的中点， ∴，， ∵四边形矩形，且经过点，则， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 8. 如图，由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若正方形，的面积分别为16，25，则正方形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形，的面积分别为16，25，得出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵正方形，的面积分别为16，25， ∴，， ∵三角形为直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为：， 故答案为：9． 9. 式子化简的结果为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： 11. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 【答案】4.2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故答案为：4.2． 12. 如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 【答案】2或4或8 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将二次根式化成最简二次根式再进行计算； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解后，代入字母的值计算即可； （2）利用分式加法法则和完全平方公式变形后，代入字母的值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：，， ；， ． 15. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 16. 如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出边的中点； （2）在图2中，画出边的中点． 【答案】（1） 如图1，点即为所作； ； （2） 如图2，点即为所作； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及判定等知识． （1）连接交于的O，作直线交于点F，根据正方形的性质可得点O在的垂直平分线上，再根据，可得，即可求解； （2）连接交于点H，连接，并延长交于点G，证明四边形是正方形，四边形是平行四边形，可得，再证明四边形是平行四边形，可得为的中点，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）是直角吗？为什么？ 【答案】（1）22.5 （2） 是直角，理由如下： 如图，连接， 根据勾股定理，得，，， ， 是直角三角形， 即是直角． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求网格中图形的面积， 对于（1），根据正方形的面积减去四个三角形和一个正方形的面积可解； 对于（2），根据勾股定理的逆定理判断即可． 【小问1详解】 解：四边形的面积； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，证明是等边三角形，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， 是等边三角形， 过点作，垂足为点， ，， ， ． 19. 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【小问1详解】 解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 20. 如图，在中，，为钝角，作交于点． （1）若，则______； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， ． 即． ， ， ，即， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握角的和差是解题的关键． （1）根据题意求出，得到，即可得到答案； （2）由题意证明，即可得到结论； （3）过点作的垂线，垂足为，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作的垂线，垂足为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图，在矩形中，，G，H分别在上，且，E，F分别是上的两个动点，点E从A向D移动，点F从C向B移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为t秒，其中． （1）四边形一定是 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）若四边形为菱形，求t的值； （3）若四边形为矩形，求t的值． 【答案】（1）A （2）t的值为 （3）t的值为4或6 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质是解决问题的关键． （1）依题意得，，证明和全等得，同理证明和全等得，则四边形是平行四边形，据此即可得出答案； （2）根据菱形的判定得当时，四边形是菱形，由勾股定理得，则，由此解出t即可； （3）当四边形为矩形时，连接，过点G作于点N，证明四边形是矩形得，则，进而由勾股定理得，则，由此解出t即可． 【小问1详解】 解：四边形一定是平行四边形，理由如下： 如图1所示： ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据点E，F的运动速度和时间得：， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选：A． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形，如图2所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴当四边形为菱形，t的值为； 【小问3详解】 解：当四边形为矩形时， 连接，过点G作于点N，如图3所示： ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当四边形为矩形时，t的值为4或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $