精品解析： 2025年安徽省池州市中考二模 数学试题

九年级 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题意． 1. 剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 4. 由几个大小相同的小正方体积木搭成的立体图形的左视图如图所示，则所搭成的立体图形不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中的命题是真命题的是（ ） A. 是方程的解 B. 若，则 C. 三角形的三条高线交于三角形内一点 D. 等腰三角形的内角都相等 6. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 10. 如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论： ①矩形的周长为12； ②矩形的面积为8； ③；④． 其中结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 要使有意义，则实数x取值范围是________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为___________． 14. 已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础．某粮食生产专业户原计划生产水稻吨和小麦吨，但实际水稻超产，小麦超产，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积倍，且水稻亩产量比小麦多千克，求水稻种植面积是多少亩？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）将绕原点按逆时针方向旋转得，请画出，并写出点的坐标； （2）的面积为________； （3）点在（1）中经过的路径长为________． 18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个； （2）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 20. 如图，中，A是的中点，以A，，三点作平行四边形，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间小时进行分组整理，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图），根婚图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的学生人数是________人； （2）扇形统计图中“B”组对应的圆心角度数为________； （3）请将顿数直方图补充完整，并图上标出数据； （4）若该校有2000名学生，试估计全校有多少名学生每周的课外阅读时间不少于6小时？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连接． （1）若点为的中点，则的值为________． （2）如图2，若点为中点，求证：． （3）如图2，若，，且，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （3）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题意． 1. 剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定的值的方法是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 4. 由几个大小相同的小正方体积木搭成的立体图形的左视图如图所示，则所搭成的立体图形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可． 【详解】A、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； B、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； C、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； D、左视图为2列，从左往右正方形的个数为1，2，符合题意； 故选：D． 5. 下列选项中的命题是真命题的是（ ） A. 是方程的解 B. 若，则 C. 三角形的三条高线交于三角形内一点 D. 等腰三角形的内角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义、真命题，熟练掌握方程的解法和等腰三角形的定义是解题关键．根据解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：， ， ， 经检验，是分式方程的解；则选项A是真命题； ， ， 或， 方程的解为或，则选项B是假命题； 锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部，则选项C是假命题； 等腰三角形的两个底角相等；则选项D是假命题； 故选：A． 6. 已知二次函数中部分和值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 7. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 9. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 如图：过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：如图：过点A作轴，过点B作轴， ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ，即， ， ∵，轴， ， ， ， ， ， ，解得：． 故选B． 10. 如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论： ①矩形的周长为12； ②矩形的面积为8； ③；④． 其中结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】当时，如图示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，可求出周长和面积，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解， 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去），故③符合题意， ∴， 当最大时，与重合，即如图示位置， 此时，， ∴， ∴矩形的周长，故①符合题意， 矩形的面积，故②符合题意， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②③④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法直接因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据对顶角相等可得，，由此即可得． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵在四边形中，， ∴， 由对顶角相等得：，， ∴， 故答案为：． 14. 已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质化简，再合并，即可求解； 【详解】解： ． 16. 去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础．某粮食生产专业户原计划生产水稻吨和小麦吨，但实际水稻超产，小麦超产，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积的倍，且水稻亩产量比小麦多千克，求水稻种植面积是多少亩？ 【答案】水稻种植面积是亩 【解析】 【分析】本题考查实际问题抽象出分式方程，先计算出该专业户去年实际生产水稻吨， 生产小麦吨，设水稻种植面积是亩，则小麦种植面积为亩，再根据“水稻亩产量比小麦多千克”列出分式方程求解即可．解题的关键是分析题意找出相等关系． 【详解】解：该专业户去年实际生产水稻：（吨）， 生产小麦：（吨）， 设水稻种植面积是亩，则小麦种植面积为亩， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：水稻种植面积亩． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）将绕原点按逆时针方向旋转得，请画出，并写出点的坐标； （2）的面积为________； （3）点在（1）中经过的路径长为________． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图旋转变换、弧长公式、三角形的面积等知识点，掌握利用关键点进行旋转作图是解题的关键． （1）分别将、、绕点O按逆时针方向旋转得到、、，再分别连接，，即可； （2）根据割补法求的面积即可 （3）可知点C到点的路径为以O为圆心，长为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：如图，可知点C到点的路径为以O为圆心，长为半径，圆心角为的弧， ∵， ∴点C经过的路径长． 18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个； （2）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 【答案】（1），； （2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， ， ∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 当时， （个）， ∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： 令， 解得：， ∵为正整数， ∴不存在某种化合物分子结构模型中有2031个氢原子． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点，设，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离问； 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于点， 则四边形为矩形， ， 设， 则， 在中，， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 20. 如图，中，A是的中点，以A，，三点作平行四边形，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）如图：连接交于点，根据题意可得，进而得到，再根据平行四边形的性质可得即可证明结论； （2）如图：连接，由平行四边形的性质可得、，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，设的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接交于点， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间小时进行分组整理，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图），根婚图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的学生人数是________人； （2）扇形统计图中“B”组对应的圆心角度数为________； （3）请将顿数直方图补充完整，并在图上标出数据； （4）若该校有2000名学生，试估计全校有多少名学生每周的课外阅读时间不少于6小时？ 【答案】（1）50 （2）108 （3）见解析 （4）280人 【解析】 【分析】（1）由A时间段的人数及其所占百分比可得总人数； （2）用360°乘以B组的百分比可得； （3）用总人数乘以B组的百分比求得其人数，再用总人数减去其他各组人数之和求得D组人数即可得； （4）用总人数乘以样本中D、E人数之和所占比例即可得． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：扇形统计图中“B”组对应的圆心角度数为， 【小问3详解】 解：B时间段的人数为（人）， 则D时间段的人数为（人）， 补全图形如下： 【小问4详解】 解： （人）， 答：全校有280人每周的课外阅读时间不少于6小时． 【点睛】本题考查频率分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连接． （1）若点为的中点，则的值为________． （2）如图2，若点为中点，求证：． （3）如图2，若，，且，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得为的中位线，进而得出，则，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过作交于点，可得为的中位线，证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （3）过作交于点，可得是的中位线，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：如图， ∵为矩形对角线交点， ∴， ∵中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过作交于点， ∵， ∴， ∴为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是中点，， ∴， ∴是中点，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （3）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线，再建立方程组求解即可； （2）先表示平移后，，再利用对称性可得答案； （3）如图，过作轴交于，过作轴交于，可得，可得，求解直线为，，可得，设，则，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入抛物线， 得：，解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点； ∴， ∵将点向右平移个单位，则到达图象上的点， ∴， ∵，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作轴交于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴直线为， ∵当， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 当时，的最大值为， 此时，， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$