精品解析：吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期第一学程考试数学试题

长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第一学程考试 数学试题 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的共轭复数为（    ）. A. B. C. D. 2. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，是边的中点，， 若，则边（    ）. A. 16 B. C. 4 D. 8 5. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 7. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若P为的重心，则 B. 若P为的外心，则 C. 若P为的垂心，则 D. 若P为的内心，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 四边形的面积为 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最小值，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，双空第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 复数满足，则的最大值为________. 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为________． 14. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 16. 在中，，，，点，在边上且，. （1）若，用，表示，并求线段的长； （2）若，，求的值. 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 18. 如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． （1）求的取值范围； （2）当为的中点时，用表示； （3）若，求的最大值． 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第一学程考试 数学试题 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的共轭复数为（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及复数运算求复数，即可得共轭复数. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 2. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算出，再由数量积公式计算出夹角的余弦，结合角度范围求出夹角. 【详解】因为， 所以， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 故选：C． 3. 在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】∵有两解， ∴，∴， 故选：D． 4. 在中，角所对的边分别为，是边的中点，， 若，则边（    ）. A. 16 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可. 【详解】因为，可知， 由余弦定理可得， 且，可得， 即，解得. 故选：C. 5. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C 6. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】如图所示，由题意， 则， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以建筑的高度为. 故选：A. 7. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若P为的重心，则 B. 若P为的外心，则 C. 若P为的垂心，则 D. 若P为的内心，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确； 对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 四边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即,即C错误； 还原平面图为下图， 即，即A正确； 过C作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最小值，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量垂直得到数量积为0，可求，判断A的真假；根据向量共线可求，判断B的真假；问题转化为两向量方向相反，可求判断C的真假；根据投影向量的求法求投影向量，判断D的真假. 【详解】对于A，若，则，则，所以A正确； 对于B，若，则，所以，所以B错误： 对于C，取得最小值时，，共线反向，则， 解得，则，所以C正确； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ACD 11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，设，因为则， ， 由共线，得解得，所以，故A正确； 对于B，由得， 所以 所以，故B不正确； 对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时， ，故D不正确. 故选：AC. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，双空第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出. 【详解】， ， ， ，又， ， . 故答案为：. 14. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可. ②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可. 【详解】如图： 连接，由题意知，且分别为的中点，. 所以， , 得. ，， 化简得， 所以 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出； （2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值. 【小问1详解】 因为复数，， 所以， 因为复数对应的点在实轴上， 所以，得，所以， 所以； 【小问2详解】 因为复数，， 所以 ， 因为为纯虚数，所以，解得. 16. 在中，，，，点，在边上且，. （1）若，用，表示，并求线段的长； （2）若，，求的值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解； (2) 因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解． 【小问1详解】 依题意，， 则， 故， 由， 则 ， 故线段的长为：． 【小问2详解】 因为， 所以，， 则 ， ， ， 故． 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可； （2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 由正弦定理得，， ， ， ，， 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， ， ，, ， ，，， 所以的取值范围为. 18. 如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． （1）求的取值范围； （2）当为的中点时，用表示； （3）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可. （2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可. （3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可. 【小问1详解】 如图，设，连接， 而， 因为，故， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 由平面向量加法法则得， 则在方向上的投影向量为， 在方向上的投影向量为， 得到， 故， 将代入，得． 【小问3详解】 因为，， 所以， 又由（2）知， 故，则， 因为，所以当且仅当时，取得最大值1， 故的最大值为． 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）（ⅰ）由题意可得，根据共线定理得到，利用基本不等式求解即可； （ⅱ）根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，且、不共线，所以，； 【小问2详解】 因为、、三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，即， 所以， 又因为， 即，又、不共线， 所以，解得， 所以． 【小问3详解】 （i）根据题意． 同理可得：， 由（2）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 化简得，又因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立． （ⅱ）根据题意，， ， 所以 ， 由（i）可知，则， 所以， 所以， 易知，当时，有最大值，又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $