精品解析：2025届江苏省盐城市建湖县第二中学高三三模数学试题

**基本信息** 2025届建湖县二中三模数学热身卷，以高考真题为模板，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过中国诗词大会情境题（如第19题）等设计，强化数学眼光、思维与语言的核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|充分条件、复数、函数奇偶性等|基础概念辨析，如第3题函数奇偶性判断| |多选|3/18|统计量、解三角形、数列单调性|第9题结合销量数据考查极差与回归，体现数据观念| |填空|3/15|三角求值、概率、函数零点|第14题函数零点问题，考查数形结合能力| |解答|5/77|数列、导数、立体几何、椭圆、概率应用|第19题以诗词大会为情境，融合条件概率与得分计算，体现应用意识；第17题立体几何综合考查空间观念与推理能力|

2025届建湖县第二中学三模热身数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解. 【详解】, , 故选: C. 3. 的奇偶性是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 4. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 5. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义可得，再代入夹角公式运算求解即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，则， 设非零向量的夹角为， 根据题意可得， 且，所以． 故选：A. 6. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出交点坐标，设直线，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出弦长和三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，设直线， 联立得， ， 由韦达定理得， 故， 圆心O到直线的距离为， 所以，解得， 所以或 故选：C. 7. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（ ）项 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式化简得出通项，结合已知列出方程组求出的值，结合二项式定理的性质即可得出答案. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 . 由已知可得，，解得. 根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项. 故选：C. 8. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 针对上表数据，下列说法正确的有（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的60%分位数是13.2 C. 销量的平均数与中位数相等 D. 若销量关于月份的回归方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，百分位数，平均数和中位数的概念可逐一判断A，B，C选项，根据样本点在回归直线上的特征可求得的值. 【详解】对于A，因销量的最大值为15.3，最小值为11.7，故极差为，故A正确； 对于B，将销量按照从小到大排列为：， 由，可知销量的60%分位数是第四个数13.8，故B错误； 对于C，销量的平均数为，而中位数为，故C正确； 对于D，因，，样本中心点在回归直线上， 故有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解. 【详解】由，所以， 由余弦定理有：， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； ，故C错误； 设的内切圆半径为，则有， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列单调性的性质可知，然后可得，根据不等式恒成立的条件可知得取值范围. 【详解】解：由题意得： 数列是递减数列 对于一切的恒成立 即对于一切的恒成立 故对于一切的恒成立，当时，有最大值 故，所以 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式和同角的商数关系即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以，所以. 故答案为：. 13. 若随机事件、满足：，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并事件的概率公式结合已知条件求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】因为，， ，所以， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以. 16. 已知函数，其中． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到在上必存在变号零点，即在上必存在零点，由于，只需，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以，，， 所以的图象在处的切线方程为， 即， 化为一般式为． 【小问2详解】 函数，定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 即在上必存在零点， 由于，由二次函数性质可知只需， 解得，即的取值范围是． 17. 如图，在三棱柱中，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 因为为的中点，所以. 又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，进而得到四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明平面. （2）因为侧面底面，得到底面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形， 所以. 因为侧面是菱形，且， 所以. 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2， 则，， 故，. 设侧面的法向量为， 则即 令，得，所以侧面的一个法向量为. 设直线与侧面所成的角为， 则 ， 故直线与侧面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅰⅰ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算. （ii）运用贝叶斯公式进行计算. （2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率. 【小问1详解】 （i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得： . 【小问2详解】 设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届建湖县第二中学三模热身数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 的奇偶性是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 4. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（ ）项 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 针对上表数据，下列说法正确的有（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的60%分位数是13.2 C. 销量的平均数与中位数相等 D. 若销量关于月份的回归方程为，则 10. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 11. 已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 若随机事件、满足：，，，则______. 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 16. 已知函数，其中． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 19. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $