北京市第八中学2026届高三第二学期热身练数学试题

2026届高三第二学期热身练数学试题 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．，则（ ） A． B． C． D． 4．若，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 6．已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（ ） A． B． C． D． 7．点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从米变化到米时，衰减量的增加值约为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上，则多面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为_____________ 12．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为_____________． 13．若，则_____________． 14．已知两两不共线的三个平面向量，，满足：，，，使得，则_____________． 15．已知函数，给出下列命题： ①无论取何值，恒有两个零点； ②存在实数，使得的值域是； ③存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； ④当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是． 其中，所有正确命题的序号是_____________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分） 如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为的中点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求的单调递增区间． 18．（本小题13分） 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果 真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． （Ⅰ）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； （Ⅱ）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 19．（本小题15分） 已知点，，为圆：上的动点，延长至，使得，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）过的直线与交于，两点，纵坐标不为0的点在直线上，线段分别与线段，交于，两点，且，证明：． 20．（本小题15分） 已知函数，． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （Ⅲ）若直线是曲线的切线，求的最小值． 21．（本小题15分） 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；② （Ⅰ）已知和分别为数列和数列，且，，求和； （Ⅱ）已知正整数数列是数列． （ⅰ）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ⅱ）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 学科网（北京）股份有限公司 $