精品解析：上海市闵行第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

闵行三中2024学年第二学期期中考试 高二 年级数学学科 （满分：150分，时间：120分钟） 一、填空题：第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为__________． 【答案】0.1 【解析】 【分析】根据经验概率的计算公式即可算出答案。 【详解】因为抛硬币100次，其中10次正面向上， 所以正面向上的经验概率为. 故答案为：0.1. 2. 已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 3. 曲线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：， 又，∴，. 故答案为：. 4. 若在展开式中的系数为-80，则=__________． 【答案】-2 【解析】 【详解】试题分析：利用展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得x3的系数，列出方程解得． 详解： （1+ax）5展开式的通项为Tr+1=C5r（ax）r=arC5rxr 令x=3的展开式中x3的系数为a3C53=10a3 ∵展开式中x3的系数为﹣80 ∴10a3=﹣80 ∴a=﹣2 故答案为﹣2 点睛：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 5. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导后，令可得结果. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为： 6. 已知的二项展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解. 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 7. 甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由事件的相互独立性计算两人都没有投中的概率，再根据对立事件的概率公式求两人至少有一人投中的概率即可. 【详解】由事件的相互独立性可知：两人都没有投中的概率为， 所以两人中至少有一个人投中的概率. 故答案为：. 8. 有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法. 【答案】144 【解析】 【分析】本题为分组分配问题，先分组有种情况，再分配有种情况，两式相乘即可. 【详解】先分组再分配.第一步：将四个小球分为三组，每组个数分别为2、1、1，有种情况； 第二步，将分好的三组小球放到三个盒子中，有种情况. 所以，共有种放法. 故答案为：144. 9. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 10. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为． 考点：古典概型． 11. 我们知道：，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从个不同的元素中选出个元素并成一组的选法种数是；②对个元素中的某个元素，若必选，有种选法，若不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分某个元素中选取个数为讨论求解即可得答案. 【详解】根据题意，从个不同元素中选出个元素并成一组的选法种数是， 若对其中的某个元素分别选或不选， 则个元素一个都没有选，有种选法； 有一个元素被选取，有种选法； 有两个元素被选取，有种选法； 有三个元素被选取，有种选法； 有个元素被选取，有种选法； 所以，， 故答案为：. 12. 若恒成立，求的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形恒成立的不等式并构造函数，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，进而利用导数确定的最小值即可． 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 令函数，即函数恒成立， 求导得， 由，得，令，函数在上递增， 当时，；， 则存在唯一，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此 ， 由恒成立，得，即， ， 令，，则， 当时，，当时，，在上递减，在上递增， 因此，当，即，时，. 故答案为： 二、选择题：本大题满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分． 13. 若m为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的计算公式得解. 【详解】因为， 即9个连续正整数相乘，且最大值为， 故， 故选：D 14. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④. 【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有， 所以在上单调递减，故①错误； 由可知，的图像在处的切线斜率等于0，故②正确； 在区间上单调，没有极值点，故③错误； 由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故④正确． 故选：B 15. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为 A. 1860 B. 1320 C. 1140 D. 1020 【答案】C 【解析】 【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论， 若只有甲乙其中一人参加，有种情况； 若甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况； 则不同的发言顺序种数种． 故选：C． 16. 若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（ ） A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题 C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点， 设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可； 对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可. 【详解】（1）对命题： 设，的隔离直线为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 若，记，，则二次函数有两个不同零点， 记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故， 若，则符合题意，若，由对任意x都成立， 注意到的对称轴为，从而，即， 所以，又的对称轴为，∴， 即，∴，故，同理可得，， 即，的最小值为，故命题为假命题； （2）对命题： 注意到函数和均经过， 若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即， 由恒成立，即， 整理得：对于均成立. 若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立； 若，记， 则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：， 此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分， 即对于无法成立.故，此时直线， 下面证明 令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题. 故选：B 三、解答题： 17. 现有5名男生4名女生站成一排，求： （1）女生都不相邻有多少种排法； （2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法； （3）男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 【答案】（1）43200 （2）60480 （3） 【解析】 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用写序问题倍缩法求解. （3）利用对立事件，结合古典概率求解. 【小问1详解】 先排5名男生，再在每个排列形成的6个间隙中插入4个女生， 所以女生都不相邻的排法种数为. 【小问2详解】 9人的全排列种数为，其中男生甲、乙、丙的排列种数为， 而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有1种， 所以所求排列种数. 【小问3详解】 9人的全排列种数为，其中男甲在首位的排列种数为，男乙在末位的排列种数为， 男甲在首位且男乙在末位排列种数为， 所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为. 18. 已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求所有项系数和与二项式系数和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1）所有项系数和为；二项式系数和为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意及二项展开式的通项公式先求出，赋值法令求出所有项系数和，由求出二项式系数和； （2）由通项公式求出有理项项数，进而利用插空法与古典概型即可求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为：，. ∵第4项的系数与倒数第4项的系数之比为， ∴，解得. ∴所有项系数和为； 二项式系数和为. 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项公式为，. 展开式中一共有8项，当时有理项， 所以由插空法得有理项不相邻的概率为：. 19. 已知函数（为实数）． （1）若在处有极值，求的单调递减区间； （2）若在上是增函数，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意得，可解得，于是，令可求得的单调递减区间； （2），，且不恒为0恒成立恒成立，分离参数得对，恒成立，求得的最小值可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：的定义域，又， 所以，解得， 此时，， 因为，令，解得，所以的单调递减区间是 【小问2详解】 解：依题意，且不恒为对恒成立， ，即，即， 在单调递增， 的最大值为，的最小值为，． 20. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． （2）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． （3）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 【答案】（1） （2），不独立； （3）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式求解即可； （2）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （3）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为. 【小问2详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问3详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 21. 已知函数，（b为常数）． （1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； （2）若，，存在使得成立，求满足上述条件最大整数M； （3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【答案】（1）或1； （2）0 （3）2. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值. （2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围. （3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 因此函数的图象在点处的切线方程为， 由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根， 方程中，，解得或， 所以实数b的值为或1. 【小问2详解】 当时，，，求导得， 函数在上单调递减，， 由存在使得成立，得， 而，即，则， 所以最大整数M的值为0. 【小问3详解】 由，不妨设， 而函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，则， 不等式， 即，令， 依题意，，成立，因此函数在上单调递增， 则，成立，即在上恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此，而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 闵行三中2024学年第二学期期中考试 高二 年级数学学科 （满分：150分，时间：120分钟） 一、填空题：第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上经验概率为__________． 2. 已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 3. 曲线，则______． 4. 若在展开式中系数为-80，则=__________． 5. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______． 6. 已知的二项展开式中系数最大的项为______． 7. 甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为______. 8. 有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法. 9. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 10. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为____. 11. 我们知道：，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从个不同的元素中选出个元素并成一组的选法种数是；②对个元素中的某个元素，若必选，有种选法，若不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：__________. 12. 若恒成立，求的最小值为______． 二、选择题：本大题满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分． 13. 若m为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为 A. 1860 B. 1320 C. 1140 D. 1020 16. 若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（ ） A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题 C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题 三、解答题： 17. 现有5名男生4名女生站成一排，求： （1）女生都不相邻有多少种排法； （2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置前后顺序），有多少种排法； （3）男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 18. 已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求所有项系数和与二项式系数和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 19. 已知函数（为实数）． （1）若在处有极值，求的单调递减区间； （2）若在上是增函数，求的取值范围． 20. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． （2）当盒中白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． （3）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 21. 已知函数，（b为常数）． （1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； （2）若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； （3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$