精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

大庆市景园中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三年级月考数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共27题，总分120分． 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、答题注意事项：作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上对应题目选项的相应的位置，务必涂黑，涂满格． 3、考试时间120分钟． 一．选择题（共10题，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2 下列各式：；；；；．其中分式共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x＝2是方程的解，则k的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 5. 某施工队整修一条480m的道路．开工后，每天比原计划多整修20m，结果提前4天完成任务．设原计划每天整修xm，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，使点B落在延长线上的D点处，则（　　） A 90° B. 82° C. 80° D. 81° 7. 三角形的三边满足，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不论为何值，分式总有意义 B. 当时，分式的值为1 C. 若分式的值为零，则 D. 把分式中值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 9. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 7 10. 如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段，于，两点，连接，给出下列四个结论： ；②；③四边形的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为是．上述结论中正确的个数是( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共10题，满分30分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 若等于它的倒数，则分式的值为_____． 13. 已知，则的值是_____． 14. 计算_____． 15. 对于非零实数、，规定．若，则的值为______． 16. 如图，直角沿边所在的直线向右平移2得到，若，则四边形的面积是_______． 17. 在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____． 18. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则_____． 19. 已知关于x的分式方程无解，则m的值为________． 20. 如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边（、、三点逆时针排列），、E两点坐标分别为，连接，则的最小值为_____． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 分解因式： （1）； （2）． 22. 计算： （1）； （2）． 23. 先化简，再从，，0，1中选一个合适的数作为m的值代入求值． 24. 解方程 （1） （2） 25. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为． （1）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请直接写出平移后点的对应点的坐标_____． （2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的． （3）请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标_____． 26 列分式方程解应用题： 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元，甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元． （1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ （2）商店对甲乙两款恤衫进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 27. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系 （1）思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． （2）类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． （3）联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆市景园中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三年级月考数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共27题，总分120分． 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、答题注意事项：作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上对应题目选项的相应的位置，务必涂黑，涂满格． 3、考试时间120分钟． 一．选择题（共10题，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意， 故选：D． 2. 下列各式：；；；；．其中分式共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断． 【详解】解：分母中含有未知数的有：，共有2个分式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、，等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意 B、，是因式分解，符合题意； C、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4. 已知x＝2是方程的解，则k的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】将x=2代入方程，求出k的值即可． 【详解】解：∵x＝2是方程的解 ∴， 解得k=﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程解的概念是解题的关键． 5. 某施工队整修一条480m的道路．开工后，每天比原计划多整修20m，结果提前4天完成任务．设原计划每天整修xm，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设原计划每天挖xm，根据结果提前4天完成任务列方程即可． 【详解】解：设原计划每天挖xm，由题意得 ． 故选C． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　） A. 90° B. 82° C. 80° D. 81° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 三角形的三边满足，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据利用完全平方公式得到，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三角形的三边为， ∴则此三角形是直角三角形． 故选：B． 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不论为何值，分式总有意义 B. 当时，分式的值为1 C. 若分式的值为零，则 D. 把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 9. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集确定出a的范围，再由分式方程有整数解，确定出a的值，即可得到答案． 【详解】解：不等式组整理得， ∵不等式组的解集为， ∴， 分式方程去分母，得：， 则， ∵分式方程有整数解， ∴，即， 解得， ∵分式方程有整数解,即， ∴或或， 解得：或或或或， ∵且， ∴符合条件的整数a的值有、3、0、2这四个， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故选C． 【点睛】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得a的取值范围以及解分式方程是解本题的关键． 10. 如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段，于，两点，连接，给出下列四个结论： ；②；③四边形的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为是．上述结论中正确的个数是( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，，则可对①②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ，且，， ， ，，所以①正确； ，所以②正确； ， 四边形的面积，所以③正确； 作于，如图，则， ， ， ，， ， ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值， ④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 二、填空题（共10题，满分30分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式意义的条件，由结合二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义， ∴， 解得：； 故答案为：． 12. 若等于它的倒数，则分式的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 【详解】解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 13. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值以及平方根，分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 15. 对于非零实数、，规定．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据新定义的公式列得分式方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为：． 16. 如图，直角沿边所在的直线向右平移2得到，若，则四边形的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了图形的平移，根据平移的性质得到，，,则，根据即可得到答案． 【详解】解：∵直角沿边所在的直线向右平移2得到， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积是 故答案为：4 17. 在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据正方形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到坐标． 【详解】解：在正方形中， ∵对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是， ∴， 将正方形沿轴向右平移3个单位长度， ∴， 故答案为：． 18. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．根据题意：分解因式时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为，a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为，b为9．代入即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了b，分解结果为， ∴， 乙看错了a，分解结果为， ∴， ∴． 故答案为：15． 19. 已知关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【答案】-6或1.5或-1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：2（x+2）+mx=x-1， 去括号得：2x+4+mx=x-1， 整理得（m+1）x=-5， 当m+1=0时，整式方程无解，解得m=-1； 当（x-1）（x+2）=0，即x=1或x=-2时，分式方程有增根， 当x=1时，m+1=-5，解得m=-6； 当x=-2时，-2（m+1）=-5，解得m=1.5； 故m的值是-6或1.5或-1， 故答案为：-6或1.5或-1． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 20. 如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边（、、三点逆时针排列），、E两点坐标分别为，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】在轴上方作等边 ，证明，所以点的轨迹为定直线，作点关于直线的对称点，连接 ，当点 、、 在同一条直线上时，的值最小，再根据勾股定理，即可解答； 【详解】解：点B在直线上， ， ， ， ， ， ， 在轴上方作等边 ， 由等边三角形的性质可得：，，， ， 即 ， ∴， ， ∴点的轨迹为定直线 ，记与轴的交点为， 作点关于直线的对称点，连接 ，，， ， ∴当点D、C、 在同一条直线上时， 值最小，如图，记与的交点为， ，， ， ∴，， 过作轴于， 同理可得：，， ∴， 即， 的最小值， 故答案为： 【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称，锐角三角函数应用等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件的问题作出辅助线． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式除法及分式加减法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式除法法则计算即可得答案； （2）根据异分母分式加减法法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 23. 先化简，再从，，0，1中选一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求解，熟练掌握分式的混合运算法则及分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的混合运算法则对原式进行化简，根据分式有意义的条件选择m的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 由分式有意义的条件知，，0，1， 所以m应为， 所以当时，原式． 24. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）x=；（2）无解 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解； （2）根据解分式方程的过程即可求解． 【详解】解：（1）去分母，得5（2x+1）=x-1， 去括号，得10x+5=x-1， 移项，合并同类项，得9x=-6， 系数化1，得x=， 检验：把x=代入（x-1）（2x+1）≠0， 所以x=是原方程的解； （2）去分母，得1+2（x-2）=x-1， 去括号，得1+2x-4=x-1， 移项，合并同类项，得x=2， 检验：把x=2代入x-2=0， 所以此方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根． 25. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为． （1）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请直接写出平移后点的对应点的坐标_____． （2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的． （3）请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标_____． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查平移的性质、旋转的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据点的坐标为，确定平移方式，再根据点坐标即可得答案； （2）分别作出，、的对应点，，，顺次连接即可； （3）根据平移的性质及平行四边形的性质分、、为对角线三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，平移后点的对应点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移，向上平移， ∵， ∴平移后点的对应点的坐标为， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：∵以、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则，点平移到点， ∴平移方式为：向右平移，向下平移， ∵， ∴， 当为对角线时，平移方式为：向右平移，向下平移，同理可得， 当为对角线时，平移方式为：向左平移，向上平移，同理可得， 故答案为：或或 26. 列分式方程解应用题： 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元，甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元． （1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ （2）商店对甲乙两款恤衫进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 【答案】（1）甲种款型的恤衫购进件，乙种款型的恤衫各购进件 （2）售完这批恤衫商店共获利元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用及有理数混合运算，根据等量关系建立方程是关键，注意分式方程需要验根． （1）设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元，列出方程即可求解； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件， ∵甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元 ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款型的恤衫购进件，乙种款型的恤衫各购进件． 【小问2详解】 解：甲款型全部售完的利润为：（元）， 乙款型售完一半的利润为：（元）， 乙款型降价一半的利润为：（元） ∴售完这批恤衫商店共获利（元）． 答：售完这批恤衫商店共获利元． 27. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系 （1）思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． （2）类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． （3）联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和长． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得． 【小问1详解】 解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，，理由是： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 过A作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$