精品解析：2025年广西壮族自治区柳州市中考二模数学试题

2025年柳州市初中学业水平考试模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 如图，实数 ， ， ， 在数轴上表示如下，则最大的实数为（ ） A. B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 近几年来，中国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．据统计，中国年上半年的服务机器人产量为套．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则 的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒 与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（ ）厘米． A. B. C. D. 9. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 10. 《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　　) A. B. C. D. 11. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 12. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：______． 14. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，七年级三班这三项成绩分别为 分，分和分，则该班卫生检查的总成绩为______分． 15. 随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段 ， ， 分别为前叉、下管和立管（点在 上）， 为后下叉．已知，，，，则的度数为______． 16. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于 的不等式的解集为____________． 二、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 19. 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过 吨的禁止通行，现有一辆自重 吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知 个部件和个部件的总质量为 吨， 个部件和个部件的质量相等． （1）求个部件和个部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 20. “水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点 距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） （1）请写出经过，， 三点的抛物线的函数解析式． （2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 21. 如图，，，， 是 上的四点， 是直径，， 的切线 交 的延长线于点 ．连接并延长交 于 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的半径． 22. 综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中， ，，过点作交于点 ，过点作交于点 ，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图 ，在直角坐标系中，直线：分别与 轴， 轴交于点、， （1）直接写出______，______； （2）将直线 绕点顺时针旋转 得直线 ，求出直线 解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角 ，使得，，根据 型全等和坐标之间的关系，求出点 的坐标为______；通过， 两点坐标求出直线 的解析式______； （3）如图，将直线绕点顺时针旋转 得到，求的函数解析式． 23. 在矩形 中， ， ，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，旋转角为，得到矩形，点、点、点 的对应点分别为点 、点 、点 ． （1）如图①，当点 落在 边上时，求线段 的长度； （2）如图②，当点 落在线段 上时， 与 相交于点 ，连接 ， ①求证：； ②求线段 的长度． （3）如图③设点 为边的中点，连接 ， ，在矩形 旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年柳州市初中学业水平考试模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 如图，实数 ， ， ， 在数轴上表示如下，则最大的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，实数的比较大小．根据题意可知数轴右侧的点表示的数最大，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴最大的实数为 ， 故选：A． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 近几年来，中国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．据统计，中国年上半年的服务机器人产量为套．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数即可求解，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时， 是正整数；当原数的绝对值时， 是负整数，解题的关键要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 5. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式求解即可，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则 的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据 所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握 所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒 与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（ ）厘米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用， 过 作于点 ，延长 ，交于点，则有，，再证明，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过 作于点 ，延长 ，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可． 【详解】解：把点代入得： ． 故选：B． 10. 《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；绳长=木长-1，据此可列方程组求解． 【详解】根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 11. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D 12. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形是正十二边形， ∴， ∵于M，又， ∴， ∵正 边形的周长， ∴圆内接正十二边形的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接用提公因式法求解即可，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 14. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，七年级三班这三项成绩分别为 分，分和分，则该班卫生检查的总成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式求解即可，掌握加权平均数的计算是解题的关键． 【详解】解：该班卫生检查的总成绩为 ， 故答案为：． 15. 随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段 ， ， 分别为前叉、下管和立管（点 在 上）， 为后下叉．已知，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出 的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 二、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则进行化简，得到最简结果后再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可． （2）不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 解：共4种等可能结果，其中1种符合题意， ∴晓玲选择机器人技术的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种， （晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）． 19. 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重 吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由 个 部件和 个 部件组成，这种设备必须成套运输，已知个 部件和 个 部件的总质量为吨，个 部件和 个 部件的质量相等． （1）求 个 部件和 个 部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 【答案】（1） 个 部件质量为吨， 个 部件质量为吨； （2）一次可以运送套这种设备． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及解不等式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设 个A部件质量为吨， 个 部件质量为 吨，根据个 部件和 个 部件的总质量为吨，个 部件和 个 部件的质量相等列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据内地货车载重后总质量不超过吨列出不等式，求解不等式即可． 【小问1详解】 设 个A部件质量为吨， 个 部件质量为 吨 解得 答： 个 部件质量为吨， 个 部件质量为吨 【小问2详解】 设一次可以运送 套这种设备， 为整数 答：一次最多可以运送套这种设备 20. “水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点 距离地面22米，喷水口 ， 点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） （1）请写出经过 ， ， 三点的抛物线的函数解析式． （2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 【答案】（1）； （2）两条水柱的相遇点距离地面 米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移变换得到新抛物线解析，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为：， 又两辆车喷水口的水平距离为60米，即， 将代入解析式，得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：两辆车同时后退 米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为： ， 当时，， ∴两条水柱的相遇点距离地面 米． 21. 如图， ， ， ， 是 上的四点， 是直径，， 的切线 交 的延长线于点．连接并延长交 于 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的半径． 【答案】（1） ∵ 是直径， ∴ ， ∵ 的切线 交 的延长线于点， ∴， ∵，， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形判定及性质，切线性质，圆周角定理，垂直平分线性质，勾股定理等． （1）根据题意得 ，，再利用垂直平分线性质得，继而得到本题答案； （2）由垂直平分线性质得，再利用矩形性质得，后设 的半径为，则，，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 垂直平分 ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设 的半径为，则，， ∴，解得：， ∴ 的半径为． 22. 综合与探索 【探索发现】如图 ，等腰直角三角形中， ，，过点 作交于点 ，过点 作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与 轴，轴交于点 、 ， （1）直接写出______，______； （2）将直线 绕点 顺时针旋转 得直线 ，求出直线 解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角 ，使得，，根据 型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过 ，两点坐标求出直线 的解析式______； （3）如图 ，将直线绕点 顺时针旋转 得到，求的函数解析式． 【答案】（1），； （2），； （3）的函数表达式为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （ ）由即可求出点 的坐标为，点 的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设 解析式为，然后把 ，坐标代入求解即可； （ ）过点 作交于点 ，过点 作轴，过点 作轴与 交于点 ，与轴交于点 ，证明，则有，设 ，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在直角坐标系中，直线分别与 轴，轴交于点， 令，解得，令 ，得，解得：， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过点作轴于 ，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设 解析式为， ∴，解得：， ∴ 解析式为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：过点 作交于点 ，过点 作轴，过点 作轴与 交于点 ，与轴交于点 ，如图， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线 解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 23. 在矩形 中，， ，以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，旋转角为，得到矩形，点 、点 、点 的对应点分别为点、点 、点． （1）如图①，当点落在 边上时，求线段 的长度； （2）如图②，当点落在线段 上时， 与 相交于点 ，连接 ， ①求证：； ②求线段 的长度． （3）如图③设点 为边的中点，连接 ， ，在矩形 旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：∵当点落在线段 上， ∴， 又∵ ，， 在和中， ∴， ∴， ∴． ② （3）存在； 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题． （2）①根据题意可得，由即可证明，从而得出，根据等角对等边可得． ②设，在中，根据勾股定理构建方程即可解决问题． （3）存在．连接 ，作于 ，当与 共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形 旋转得到， ∴， 故在中，， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②解：设， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 连接 ，作于 ，如图， 当与 共线，且时，面积最大， ∵点 为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 则， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $