广西壮族自治区柳州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质

广西壮族自治区柳州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质 一．选择题（共15小题） 1．（2024•柳东新区二模）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD＝5，AC＝10，BD＝6，△BOC的周长为（　　） A．13 B．16 C．18 D．21 2．（2024•柳州二模）如图所示是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（　　） A．900° B．720° C．540° D．360° 3．（2024•柳北区二模）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠2＝42°，则∠DBC的度数为（　　） A．42° B．28° C．32° D．38° 4．（2024•柳北区二模）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣6），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（2，0），半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点D的“蛋形”切线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x﹣6 B．y＝﹣x﹣6 C．y＝﹣3x﹣6 D．yx﹣6 5．（2024•城中区二模）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 6．（2024•城中区二模）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　） A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2 7．（2024•城中区二模）如图，在△ABC中，∠B＝25°，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接MN交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 8．（2024•柳州二模）五边形的外角和为（　　） A．180° B．360° C．540° D．900° 9．（2024•柳州二模）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（　　） A．15° B．35° C．40° D．75° 10．（2024•柳州二模）如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 11．（2024•柳州二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．12 C．8 D．6 12．（2024•柳南区二模）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角都是对顶角 B．两直线平行，内错角相等 C．如果ab＜0，那么a，b两数同号 D．如果a2＝b2，那么a＝b 13．（2024•柳州二模）如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．140° 14．（2024•柳州二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线上AM上运动，连接BP，交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 15．（2024•柳州二模）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则OE为（　　） A．2 B．3 C．4 D．3.5 二．填空题（共10小题） 16．（2024•柳北区二模）如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 　 　． 17．（2024•柳北区二模）若∠A＝35°，则∠A补角的大小为 　 　． 18．（2024•城中区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则OE＝　 　． 19．（2024•柳州二模）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝　 　． 20．（2024•柳州二模）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是　 　cm． 21．（2024•柳州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E，F分别在边BC，AB上，AF＝2，BE＝1，连接DF，AE相交于点G，连接DE，M为DE中点，连接GM，则GM的长为 　 　． 22．（2024•柳南区二模）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 　 　°． 23．（2024•柳南区二模）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm． 24．（2024•柳州二模）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　 　． 25．（2024•柳州二模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为 　 　厘米．（结果保留π） 三．解答题（共5小题） 26．（2024•柳北区二模）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片ABCD对折，使边AB与边CD重合，展开后得到折痕EF．如图2，将矩形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，连接DN． （1）①如图2，判断△ADN的形状，并说明理由；②求线段NF的长； 【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片ABCD换成边长为4的正方形纸片ABCD，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片ABCD内部的点N处，延长MN交BC于点G． （2）猜想BG与NG之间的数量关系并证明；若DM＝1，求△CMG的面积． 27．（2024•柳州二模）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 28．（2024•柳州二模）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为 　 　；（直接写出答案） （2）如图2，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 29．（2024•柳州二模）问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，∠EAF＝45°，连接EF，试说明线段DE，BF和EF之间的数量关系． 小明是这样思考的：将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．直接写出线段DE，BF和EF之间的数量关系：　 　． 问题探究 （2）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝8，E是边CD上的一点．若∠BAE＝45°，DE＝3，求BE的长． 问题解决 （3）某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和一个正方形组成，如图4所示．已知AC＝30m，BC＝50m，以AB为边作正方形ADEB，现要在花园里修建一条小路CD，为了满足观赏需求，小路CD要尽可能长，求出此时∠ACB的度数及小路CD的最大值． 30．（2024•柳南区二模）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°， （1）实践与操作：用尺规作图法过点B作∠ABC的平分线，交边CD于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝6．求△BCE的面积． 广西壮族自治区柳州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•柳东新区二模）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD＝5，AC＝10，BD＝6，△BOC的周长为（　　） A．13 B．16 C．18 D．21 【解答】解：∵▱ABCD的两条对角线交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝5， ∴BO＝DO＝3，AO＝CO＝5，BC＝AD＝5 ∴△BOC的周长为：BO+CO+BC＝3+5+3＝13． 故选：A． 2．（2024•柳州二模）如图所示是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（　　） A．900° B．720° C．540° D．360° 【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°， 即该六边形的内角和是720°． 故选：B． 3．（2024•柳北区二模）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠2＝42°，则∠DBC的度数为（　　） A．42° B．28° C．32° D．38° 【解答】解：∵MN∥EF，∠1＝70°， ∴∠MBC＝∠1＝70°， ∵∠MBD＝∠2＝42°， ∴∠DBC＝∠MBC﹣∠MBD＝28°． 故选：B． 4．（2024•柳北区二模）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣6），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（2，0），半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点D的“蛋形”切线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x﹣6 B．y＝﹣x﹣6 C．y＝﹣3x﹣6 D．yx﹣6 【解答】解：∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（2，0），半圆半径为4， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， 把D（0，﹣6）代入得﹣6＝a×（0+2）×（0﹣6）， 解得a， ∴抛物线解析式为y（x+2）（x﹣6）， 即yx2﹣2x﹣6， 设经过点D的“蛋形”切线的解析式为y＝kx﹣6， 根据题意方程组只有一组解， ∴一元二次方程x2﹣2x﹣6＝kx﹣6有两个相等的实数解， 整理得x2﹣（k+2）x＝0， Δ＝（k+2）2﹣40＝0， 解得k＝﹣2， ∴经过点D的“蛋形”切线的解析式为y＝﹣2x﹣6． 故选：A． 5．（2024•城中区二模）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 【解答】解：A、1+2＝3，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、1+2＜4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、2+2＝4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、2+4＞4，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 6．（2024•城中区二模）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　） A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2 【解答】解：扇形的面积公式3πcm2， 故选：B． 7．（2024•城中区二模）如图，在△ABC中，∠B＝25°，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接MN交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠BCD＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝50°． 故选：C． 8．（2024•柳州二模）五边形的外角和为（　　） A．180° B．360° C．540° D．900° 【解答】解：∵任意多边形的外角和都等于360°， ∴五边形的外角和为360°． 故选：B． 9．（2024•柳州二模）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（　　） A．15° B．35° C．40° D．75° 【解答】解：∵∠A＝40°，∠APD＝75°， ∴∠C＝75°﹣40°＝35°， ∴∠B＝35°， 故选：B． 10．（2024•柳州二模）如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【解答】解：∵正八边形的内角和为180°（8﹣2）＝1080°， ∴每个内角为1080°÷8＝135°， ∴∠B＝135°， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ADC＝180°﹣135°＝45°， 故选：C． 11．（2024•柳州二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．12 C．8 D．6 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA＝4， ∵BC＝6， ∴△BCD的面积BC•DE6×4＝12， 故选：B． 12．（2024•柳南区二模）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角都是对顶角 B．两直线平行，内错角相等 C．如果ab＜0，那么a，b两数同号 D．如果a2＝b2，那么a＝b 【解答】解：相等的角不一定都是对顶角，故A是假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等，故B是真命题，符合题意； 如果ab＜0，那么a，b两数异号，故C是假命题，不符合题意； 如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 13．（2024•柳州二模）如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．140° 【解答】解；∵∠A＝100°，∠B＝20°， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝120°． 故选：C． 14．（2024•柳州二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线上AM上运动，连接BP，交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【解答】解：如图，连接CD， ∵AM∥BC， ∴∠MAC＝∠ACB＝45°， ∴∠CDP＝∠CAP＝45°， ∴∠BDC＝135°， ∴点D在以点O为圆心，OB长为半径的劣弧BC上运动， ∵∠BDC＝135°， ∴劣弧BC所对的圆周角为45°， ∴∠BOC＝90° ∴△BOC是等腰直角三角形， ∵BC＝8， ∴OB＝OC， 连接OA交劣弧BC于点D'，此时AD'的长即为AD长的最小值． ∵∠ACB＝∠BCO＝45°， ∴∠ACO＝∠ACB+∠BCO＝90°， ∴OA10， ∴AD'＝OA﹣OD'＝10﹣8＝2， ∴AD长的最小值为2． 故选：A． 15．（2024•柳州二模）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则OE为（　　） A．2 B．3 C．4 D．3.5 【解答】解：连接OC， ∵直径AB＝10， ∴OC＝5， ∵CD⊥AB，AB为直径， ∴CD＝2CE＝8，∠OEC＝90°， ∴CE＝4， 由勾股定理得：OE3． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 16．（2024•柳北区二模）如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 　24cm2　． 【解答】解：由作法AC＝BC＝AD＝BD＝5cm， ∴四边形ACBD为菱形， ∴AB⊥CD，OA＝OBAB＝4cm，OC＝OD， 连接CD交AB于点O，如图， 在Rt△AOC中，OC3（cm）， ∴CD＝2OC＝6cm， ∴四边形ACBD的面积8×6＝24（cm2）． 故答案为：24cm2． 17．（2024•柳北区二模）若∠A＝35°，则∠A补角的大小为 　145°　． 【解答】解：∵∠A＝35°， ∴∠A的补角为：180°﹣∠A＝180°﹣35°＝145°， 故答案为：145°． 18．（2024•城中区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则OE＝　3　． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴OC＝OBAB＝5， ∵CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，CD＝8， ∴CECD＝4， 在Rt△OEC中，OE3， 故答案为：3． 19．（2024•柳州二模）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝　25　． 【解答】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， ∵正方形ABCD的面积为13， ∴AD2＝13＝a2+b2①， ∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1， ∴（b﹣a）2＝1， ∴a2﹣2ab+b2＝1②， ①﹣②得：2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25， 故答案为：25． 20．（2024•柳州二模）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是　π　cm． 【解答】解：弧长是：πcm． 故答案为：π． 21．（2024•柳州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E，F分别在边BC，AB上，AF＝2，BE＝1，连接DF，AE相交于点G，连接DE，M为DE中点，连接GM，则GM的长为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠DAF＝90°，CD＝AB＝3． ∵AB＝3，BC＝6，AF＝2，BE＝1， ∴2，2，CE＝BC﹣BE＝5． ∴， ∴△ADF∽△BAE， ∴∠BAE＝∠ADF， ∵∠BAE+∠DAG＝90°， ∴∠ADF+∠DAG＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∴∠DGE＝90°， ∵M为DE中点， ∴GM， ∵DE， ∴GM， 故答案为：． 22．（2024•柳南区二模）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 　720　°． 【解答】解：正六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°， 故答案为：720． 23．（2024•柳南区二模）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　2　cm． 【解答】解：∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB＝∠α＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）． 故答案为：2． 24．（2024•柳州二模）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　8π　． 【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积4π×4＝8π． 25．（2024•柳州二模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为 　　厘米．（结果保留π） 【解答】解：的长 ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•柳北区二模）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片ABCD对折，使边AB与边CD重合，展开后得到折痕EF．如图2，将矩形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，连接DN． （1）①如图2，判断△ADN的形状，并说明理由；②求线段NF的长； 【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片ABCD换成边长为4的正方形纸片ABCD，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片ABCD内部的点N处，延长MN交BC于点G． （2）猜想BG与NG之间的数量关系并证明；若DM＝1，求△CMG的面积． 【解答】解：（1）①△ADN是等边三角形，理由如下： 由折叠性质得AE＝DE，EF⊥AD，AD＝AN， ∴AN＝DN，EF＝AB， ∴AN＝AD＝DN， ∴△ADN是等边三角形； ②如图，过点N作NG⊥AB于点G， 则， 由①知AN＝AD＝4， 由勾股定理，得， ∴． （2）BG＝NG，证明如下： 如图，连接AG， 由折叠性质得∠ADM＝∠ANM＝90°，AN＝AD， ∴∠ANG＝90°， ∵AB＝AD， ∴AB＝AN， 又∵∠B＝90°， 在 Rt△ANG和Rt△ABG中， ， ∴Rt△ANG≌Rt△ABG（HL）， ∴BG＝NG； ∵DM＝1， ∴MN＝1，CM＝4﹣1＝3， 设BG＝NG＝x，则CG＝4﹣x，GM＝x+1， 在Rt△CGM中，由勾股定理得GM2＝CG2+CM2， ∴（x+1）2＝（4﹣x）2+32， 解得， ∴， ∴S△CMG． 27．（2024•柳州二模）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 【解答】解：（1）如图，射线AD即为所求； （2）∵∠C＝80°，∠B＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB60°＝30°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝80°+30°＝110°． 28．（2024•柳州二模）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为 　正方形　；（直接写出答案） （2）如图2，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE， ∴AE＝AB，∠EAB＝90°，∠AEF＝90°， ∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∵AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2，作EG⊥AD于G， ∵∠BAD＝90°，∠BAE＝45°， ∴∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝∠EAG， ∴AG＝EG， ∵EG2+AG2＝AE2， ∴2EG2＝42， ∴EG＝2， ∴S△ADEAD•EG6×26； （3）如图3，当点E在DF上时，连接AF， ∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF， 设BF＝EF＝x，则CF＝6﹣x， 根据旋转的性质得：AE＝AB＝4， ∵EF⊥AE， ∴∠AED＝∠AEF＝90°， ∵AD＝6， ∴DE2， 在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2， （6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得：x＝6﹣2； 如图4，当点E在DF的延长线上时， 同理EF＝BF，DE＝2， 设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣2，CF＝a﹣6， ∴（a﹣6）2+42＝（a﹣2）2， 解得：a＝6+2， 综上所述，BF＝6﹣2或6+2． 29．（2024•柳州二模）问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，∠EAF＝45°，连接EF，试说明线段DE，BF和EF之间的数量关系． 小明是这样思考的：将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．直接写出线段DE，BF和EF之间的数量关系：　EF＝DE+BF　． 问题探究 （2）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝8，E是边CD上的一点．若∠BAE＝45°，DE＝3，求BE的长． 问题解决 （3）某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和一个正方形组成，如图4所示．已知AC＝30m，BC＝50m，以AB为边作正方形ADEB，现要在花园里修建一条小路CD，为了满足观赏需求，小路CD要尽可能长，求出此时∠ACB的度数及小路CD的最大值． 【解答】解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴AE＝AG，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，∠D＝∠ABG＝90°， ∴∠ABG+∠ABC＝180°， ∴点G，点B，点C三点共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝45°， ∴∠BAG+∠BAF＝45°， ∴∠GAF＝45°＝∠EAF， 又∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴EF＝BG+BF＝DE+BF， 故答案为：EF＝DE+BF； （2）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝90°， ∵AD＝CD＝8， ∴四边形AFCD是正方形， ∴CF＝8， 根据上面结论，可知BE＝DE+BF， 设BE＝x， ∵DE＝3， ∴BF＝BE﹣DE＝x﹣3， ∴CB＝CF﹣BF＝8﹣x+3＝11﹣x， CE＝CD﹣DE＝8﹣3＝5， ∵∠C＝90°， ∴CE2+CB2＝BE2， ∴25+（11﹣x）2＝x2， 解得：x， 故BE； （3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，连接BF，CF， ∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC， ∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°， ∴∠BAF＝∠DAC， 又∵AC＝AF，AB＝AD， ∴△FAB≌△CAD（SAS）， ∴BF＝CD， ∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可， 在△BCF中，BF≤BC+CF， 当B、C、F三点共线时， BF取最大值，此时BF＝BC+CF， 在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝30m，∠ACF＝45°， ∴CFAC＝30（m）， ∵CB＝50m， ∴BF最大值为：（3050）m，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°． ∴CD的最大值为（3050）m． 30．（2024•柳南区二模）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°， （1）实践与操作：用尺规作图法过点B作∠ABC的平分线，交边CD于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝6．求△BCE的面积． 【解答】解：（1）如图，BE即为所求． （2）过点B作BF⊥CD于点F， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝6，∠BCE＝∠DAB＝60°，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CEB． ∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴BC＝CE＝6． 在Rt△BCF中，BF＝BC•sin60°＝6， ∴△BCE的面积为CE•BF6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/30 14:24:02；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$