精品解析：上海市吴淞中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024学年度吴淞中学高一第二学期期中考试数学学科 一、填空题（1-6每小题3分7-12每小题4分，满分共42分） 1. 函数的最小正周期是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 2. 已知，则复数为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 3. 如果，且为第四象限角，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】为第四象限角，所以可算出为正值，即可算出。 【详解】因为，又为第四象限角，所以 即。 故答案为： 【点睛】此题考查三角函数值，记住两个基本公式和每个象限三角函数正负值即可，属于简单题目。 4. 已知向量，，若，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 5. 若复数的实部与虚部相等，则的值为 _________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以由题意得： 考点：复数概念 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量定义即可求得向量在向量方向上的投影向量 【详解】，， 则向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则___． 【答案】17 【解析】 【分析】设，代入已知可得到关于的方程组，复数和复数的模. 【详解】设，则， ∴，解得：，则． 故答案为：17． 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题型. 8. 如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，即可求得的面积，得到答案. 【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下， 因为直角中，且，所以， 则在中，，， 所以的面积为. 故答案为：. . 9. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 10. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解. 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 11. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可. 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 12. 已知、，设函数，上的最大值为，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得出，由函数和函数在区间上均为增函数可得出，，再利用绝对值三角不等式可求得的最小值. 【详解】， 当时，，所以，函数和函数在区间上均为增函数， 所以，，， ，， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查含绝对值的三角函数的最值的求解，考查绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、选择题（每题3分，满分共12分） 13. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若，，则成立且不成立， 而若，则成立， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 14. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A. 与，都相交 B. 与，都不相交 C. 至少与，中的一条相交 D. 至多与，中的一条相交 【答案】C 【解析】 【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图 所以至少与，中的一条相交. 故选:C． 15. 要得到函数的图像，只要将的图像 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数转化成，所以将的图像向左平移个单位长度得到. 【详解】 ， ∴将的图像向左平移个单位长度可得的图像. 【点睛】本题考查三角函数的图像的平移，属于简单题. 16. 设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|t|的最小值为1，则下列判断正确的是（ ） A. 若||确定，则θ唯一确定 B. 若||确定，则θ唯一确定 C. 若θ确定，则||唯一确定 D. 若θ确定，则||唯一确定 【答案】D 【解析】 【分析】 可将|t|平方，利用二次函数的性质进行求解可得答案. 【详解】解：令g（t）2t， ∴△＝440，恒成立． 当且仅当t时，g（t）取得最小值1， ∴21， 化为：sin2θ＝1． ∴θ确定，则||唯一确定． 故选：D． 【点睛】本题考查了向量含参数问题，也考查了二次函数的性质，属于基础题. 三、解答题（满分共46分） 17. 如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【解析】 【分析】作出两异面直线所成的角为，再由正方体性质计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）. 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为. 18. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）0 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【小问1详解】 由复数为纯虚数可得，所以； 【小问2详解】 易知， 则可知时，的最小值为. 19. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 【答案】⑴ ⑵单调递增区间是,值域是． 【解析】 【分析】⑴ 利用定义即可求解的值； ⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域． 【详解】解：角的终边与单位圆交于点， ， ； ⑵由； 由， 得，， 又，所以的单调递增区间是； ， ， ， 故得的值域是． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 20. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. （1）求此时该外国船只与D岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 【答案】（1）海里； （2）海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 【解析】 【分析】（1）依题意，在中，，由余弦定理求得； （2）建立以点为坐标原点，为轴，过点往正北作垂直的轴．可得的坐标，设经过小时外国船到达点，结合，得，列等式求得，则，，再由求得速度的最小值． 【小问1详解】 依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. 【小问2详解】 建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 21. 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. 【答案】（1）、、；（2）的最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的定义可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可得结果； （2）设、，利用绝对值三角不等式可求得的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量、的坐标； （3）判断出“存在，使”是“”的充分不必要条件，利用题中定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为，，则，即， 解得，因为，所以，的值为、、； （2）设、， ，， 所以， ， 可取，； （3）“存在，使”是“”的充分不必要条件，证明如下： 取，. 充分性：若存在，使，即， 则，， 所以， ，充分性成立； 必要性：因为，可取，，， 则， ，则满足， 但，， ，则、不共线，必要性不成立. 综上所述，“存在，使”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，在求的最大值，充分利用绝对三角不等式结合定值条件可求得，同时在证明时，要充分利用绝对值的运算性质化简求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度吴淞中学高一第二学期期中考试数学学科 一、填空题（1-6每小题3分7-12每小题4分，满分共42分） 1. 函数的最小正周期是_________ 2. 已知，则复数为_______． 3. 如果，且为第四象限角，则的值是________ 4. 已知向量，，若，则实数_________. 5. 若复数的实部与虚部相等，则的值为 _________________． 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则___． 8. 如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______． 9. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 10. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 11. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 12. 已知、，设函数，上的最大值为，则的最小值为______________. 二、选择题（每题3分，满分共12分） 13. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A. 与，都相交 B. 与，都不相交 C. 至少与，中的一条相交 D. 至多与，中的一条相交 15. 要得到函数的图像，只要将的图像 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 16. 设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|t|的最小值为1，则下列判断正确的是（ ） A. 若||确定，则θ唯一确定 B. 若||确定，则θ唯一确定 C. 若θ确定，则||唯一确定 D. 若θ确定，则||唯一确定 三、解答题（满分共46分） 17. 如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小. 18. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）求的最小值. 19. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 20. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. （1）求此时该外国船只与D岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 21. 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $