精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． I卷 客观题 一、选择题（共40分，每题4分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在 中，所对的边为a，b，c，则下列不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点E，于点F.若 ，，且的周长为50，则的面积为（　　） A. 40 B. 48 C. 60 D. 72 8. 如图，铁路 和公路在点处交汇，，公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，当火车在铁路 上沿由到 的方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正方形的边长为4，点M在 上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 10. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为： 且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共30分，每题5分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 12. 如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 13. 在中，，则______． 14. 如图，菱形的对角线 相交于点O，菱形的周长为20，， 于E，连接 ，则_________． 15. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 16. 如图，在中， ，是的中点，作，垂足在线段 上，连接、 ，则下列结论中， ；   ；；  ．其中正确的是________． Ⅱ卷 主观题 三、解答题（共80分，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式的值，其中，． （1）； （2）． 19. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点 （只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中， ，为 中点，为中点 猜想： ，且． 证明： 是中点，①______ ， 在 和 中 ， ， 在 中，是 中点，是 中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 20. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 米， 米，， 米，米，求这块空地的面积？ 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，， 与 交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若， ，求菱形的面积． 22. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板 固定在支撑板顶端点C处，且，托板 可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动． （1）若，，求点D到 的距离．（结果保留根号） （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，将 绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线 上（如图3），求旋转的角度． 23. 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与 互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． （1）的有理化因式是　　　；化简：　　　； （2）化简：； （3）拓展应用：已知，，，试比较的大小，并说明理由． 24. 已知 是等边三角形． （1）如图1，若 ，点在线段上，且 ，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点， ，交 的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若 ，动点 从点 出发，沿射线方向移动，以 为边在右侧作等边三角形，取中点 ，连接 ，请直接写出 的最小值及此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． I卷 客观题 一、选择题（共40分，每题4分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即A选项不是最简二次根式， ∵是最简二次根式，即B选项符合题意， ∵，即C选项不符合题意， ∵，即D选项不符合题意， 故选：B． 2. 在中，所对的边为a，b，c，则下列不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理， 先设，根据勾股定理逆定理说明A；再根据三角形内角和定理判断B，C；最后根据勾股定理的逆定理解答D即可． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 所以这个三角形是直角三角形，A不符合题意； ∵， ∴ ， 所以这个三角形是直角三角形，B不符合题意； 设，且， ∴， 解得， ∴， 所以这个三角形不是直角三角形，C符合题意； ∵， ∴， 所以这个三角形是直角三角形，D不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加法，合并同类项，幂的乘方法则逐一运算即可求解． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加法，合并同类项，幂的乘方，掌握相关知识的运算法则是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，即A选项符合题意， ∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即B选项不符合题意， ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，即C选项不符合题意， ∵四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，即D选项不符合题意， 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式估值，二次根式化简等．根据题意先将二次根式化简为最简二次根式，再进行计算，最后进行估值即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴在整数和之间， ∴的数值在5和6之间， 故选：D． 6. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 7. 如图，在中，于点E，于点F.若 ，，且的周长为50，则的面积为（　　） A. 40 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵的周长为50， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 8. 如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，当火车在铁路上沿由到 的方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含 角的直角三角形的性质及勾股定理，利用勾股定理正确求出的长是解题关键．如图，过点作 于 ，点、在上，且，利用含 角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出 、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作 于 ，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由到 的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 9. 如图，已知正方形的边长为4，点M在 上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理等．根据题意连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值，根据正方形性质得是线段的垂直平分线，求出，后利用勾股定理得，即为本题答案． 【详解】解：∵正方形， ∴ 与关于直线对称， 连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选：D． 10. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为： 且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将M，N代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将M，N代入再整理，讨论得出答案． 【详解】根据题意可知且， 解得且． 所以①不正确； 由，得， 解得 ． 经检验， 是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴不存在． 所以②不正确； 根据题意，得 ． ∵是一个整数， ∴或， 解得或 或或． ∵x为无理数，且， ∴． 所以③不正确． 所以正确的有0个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 二、填空题（共30分，每题5分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 【答案】x≥-5 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子（a≥0）叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12. 如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴等．根据题意可得，再利用数轴上实数得表示即可得到本题答案． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D， ∵，， ∴， ∴点D表示的数：， 故答案为：． 13. 在中，，则______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质．根据题意可知 ，再由代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线 相交于点O，菱形的周长为20，， 于E，连接 ，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出， ，， ，在 中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20， ∴， ，， ． 在 中， 由勾股定理得， ∴． ∵ 于E， ∴ ． 又∵ ， ∴． 故答案为：3 15. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 16. 如图，在中， ，是的中点，作，垂足在线段上，连接、 ，则下列结论中， ；   ；；  ．其中正确的是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出得出对应线段之间关系进而得出答案，得出 是解题关键． 【详解】解：①∵是的中点， ∴ ， ∵在中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②延长， 交延长线于，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴ ， 在 和中． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵ ， ∴， ∵， ，故 ③错误，不符合题意； ④设， 则， ∴， ∴， ∴∠ ∵， ∴， 故④正确，符合题意， 故答案为：． Ⅱ卷 主观题 三、解答题（共80分，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式并把除法转化为乘法，再按乘法法则计算； （2）先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 求下列各式的值，其中，． （1）； （2）． 【答案】（1）24 （2）12 【解析】 【分析】本题考查平方差公式计算，二次根式计算，提公因式等． （1）先将原式因式分解得，再代入字母的值利用平方差公式计算即可； （2）先将原式因式分解得，再代入字母的值利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式， 当，时， 原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， 当，时， 原式， ， ． 19. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中， ，为中点，为中点 猜想： ，且． 证明： 是中点，①______ ， 在 和 中 ， ， 在 中，是中点，是 中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）① ； ② ； ③ ；④等于两底和的一半 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 米， 米，， 米，米，求这块空地的面积？ 【答案】24平方米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：如图，连接． 在中， 米， 米，， ∴米， 又， ∴是直角三角形， 这块地的面积（平方米）． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，， 与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若， ，求菱形的面积． 【答案】（1）矩形，理由见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即 ． 四边形是矩形． 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积 ． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 22. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板 固定在支撑板顶端点C处，且，托板 可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动． （1）若，，求点D到的距离．（结果保留根号） （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，将 绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线上（如图3），求旋转的角度． 【答案】（1）点D到的距离为 （2）旋转的角度为 【解析】 【分析】（1）过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作 ，垂足为N，证明四边形是矩形，得出，，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出，得出答案即可； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中已知的边角，根据 中，，，得出是等腰直角三角形，求出 ，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图2，过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作 ，垂足为N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：，即， ∴， ∴， 答：点D到的距离为． 【小问2详解】 解：旋转后，如图3所示，根据题意可知， 在 中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 因此旋转的角度为：， 答：旋转的角度为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与 互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． （1）的有理化因式是　　　；化简：　　　； （2）化简：； （3）拓展应用：已知，，，试比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）8 （3）a＞b＞c，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合计算，平方差公式应用，分母有理化等． （1）根据平方差公式可知，继而得到第一空答案；再利用平方差公式进行分母有理化可得第二空答案； （2）利用平方差公式进行分母有理化，再进行二次根式混合计算即可得到本题答案； （3）用两种方法均可比较字母的大小，均利用平方差公式进行分母有理化，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 法一： ∵， ， ， ∴， ∴． 法二：∵， ， ， ∴． 24. 已知是等边三角形． （1）如图1，若 ，点在线段上，且 ，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点， ，交的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若 ，动点从点 出发，沿射线方向移动，以 为边在右侧作等边三角形，取中点 ，连接 ，请直接写出 的最小值及此时的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 的最小值为，此时的长为1 【解析】 【分析】（1）过点作 于点，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段 上截取一点 ，使得 ，连接 ，由题意易得 是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点 在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得 的最小值，及此时的长． 【小问1详解】 解：过点作 于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 证明：在线段 上截取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点 在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时， 最短， ∵点 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $