精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

大庆中学2024-2025学年度下学期月考 高二年级数学试题 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、单选题 1. 数列1，，，，…的一个通项公式为 A. B. C. D. 2. 以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 5. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 6. 已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 121 7. 某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产件，为保证今年该产品的总产量超过1800件，则k的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ） A. 直线l：与C恰有两个公共点 B. 若，则的面积为 C. 双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D. 若，则的周长为28 11. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的值有3种情况 C. 若数列满足，则 D. 若为奇数，则（） 第Ⅱ卷 三、填空题 12. 在等比数列中，是方程的根，则的值为________． 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 14. 已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是__________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 16. 等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值． 18. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 19. 已知函数， （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024-2025学年度下学期月考 高二年级数学试题 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、单选题 1. 数列1，，，，…的一个通项公式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把数列化为，根据各项特点写出它的一个通项公式. 【详解】数列…可以化为，所以该数列的一个通项公式为. 故选：A 【点睛】本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目. 2. 以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定切线求出圆的半径即可求出圆的标准方程. 【详解】由圆与轴相切，得该圆半径为点到轴的距离5， 所以所求圆的标准方程为. 故选：B 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 5. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6. 已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 7. 某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产件，为保证今年该产品的总产量超过1800件，则k的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产件， 所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项，为公差的等差数列， 由今年该产品的总产量超过1800件，所以， 解得，又，所以k的最小值为10. 故选：A. 8. 若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调递增得出导函数大于等于0，再参数分离结合余弦函数值域求解即可. 【详解】因为在上是单调递增的， 所以上恒成立，所以上， 因为，所以，， 则的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则逐一求解，即得答案. 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，选项B中缺少系数2，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，为常数，常数的导数为0，选项D错误. 故选：AC. 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ） A. 直线l：与C恰有两个公共点 B. 若，则的面积为 C. 双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D. 若，则的周长为28 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误． 故选：BC． 11. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的值有3种情况 C. 若数列满足，则 D. 若为奇数，则（） 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出前几项探讨周期性计算判断A；按的奇偶性求出的值判断B；由的奇偶性，结合周期求出判断C；借助反证法的思想推理判断D. 【详解】对于A，，则该数列为， 则，，而，因此，A错误； 对于B，，若为偶数，则，于是或； 若为奇数，则，于是，因此的值会出现3种情况，B正确； 对于C，由数列满足，得数列是周期为2的数列，有 当为偶数时，，则，解得，或，无正数解； 当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，C错误； 对于D，若为奇数，则为偶数，与为奇数矛盾，因此为偶数， 即，则，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：由数列递推公式探求数列的相关性质的问题，关键是正确理解给出的关系式，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第Ⅱ卷 三、填空题 12. 在等比数列中，是方程的根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列中等比中项的性质，等比数列通项公式即可求解. 【详解】等比数列中，是方程的根， 则，， 则， 由等比数列性质可知 ，所以， 而，所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的应用，注意项的符号判断，属于基础题. 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 14. 已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是__________． 【答案】 【解析】 【详解】构造函数，则，由于，因此化为，即，也即，故当时，函数是单调递减函数；又，故函数是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数是上的单调递增函数，故不等式可化为，应填答案． 点睛：解答本题的关键是构造函数，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式进行等价转化为，从而使得 问题获解． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）的单调递增区间为和,单调递减区间为; （2）最大值为,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可. （2）利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【小问1详解】 对求导可得：， 令,则,解得或； 时，则，解得或， 所以在上单调递增； 当时，则,即, 所以在 上单调递减； 因此，的单调递增区间为和,单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知和为函数的极值点; , , , , 所以在 上的最大值为,最小值为0. 16. 等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】解：（1）设数列的公比为， 则，由 得：，所以. 由，得到 所以数列的通项公式为. （2）由条件知， 又 将以上两式相减得 所以. 17. 已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）点M到准线的距离为3，从而得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出，根据向量垂直得到方程，求出. 【小问1详解】 由题意知，点M到准线的距离为3， 所以，解得． 故C的方程为； 【小问2详解】 设，，由得， 所以，， ，． 因为，所以， 即，解得或0． 又直线l不过原点O，所以． 又满足要求，所以． 18. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 【答案】（1） ∵，∴，即， ∴是以为首项，2为公差的等差数列. （2） （3） 由（2）得，， ∴， ∵，∴，且随着的增大而减小， ∴，当时，， ∴. 【解析】 【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论. （2）根据（1）可得数列的通项公式，由此可得结果. （3）利用裂项相消法可求得，分析性质可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ∴. 【小问3详解】 略 19. 已知函数， （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 , 单 调 递 减 区 间 为 . （3）2 【解析】 【分析】（1）求出函数在处的导数，利用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，讨论参数的范围，根据的符号，写出单调区间； （3）将函数图象的位置关系转化为函数等式恒成立问题，根据(2)中的单调区间，求参数范围即可. 【小问1详解】 已知函数 ，则， 将代入可得 将代入可得， 所以切点为,切线斜率, 则切线方程为，整理得； 【小问2详解】 已知，其定义域为. ， 令，， 当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)， 则恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，由，根据求根公式可得，； 则在和上, 单调递增； 在上，, , 单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 , 单 调 递 减 区 间 为 . 【小问3详解】 由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则恒成立， 对进行求导，， 令，对其求导得， 所以在上单调递增； 又，所以当时，，即, 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以, 即实数的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $