精品解析：广西壮族自治区柳州市柳江区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季学期八年级（期中）教学质量监测试题 数 学 （考试时间：90分钟，试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 2 4. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，1， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. ，2， 6. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：______． 12. 计算的值为______． 13. 如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为_____________． 14. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 15. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为13m，则A、B间的距离为______m． 16. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则的长为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？ 19. 如图，在中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与大小关系． 21. 下面是小航同学错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 22. 在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 23. （1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点B落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，如图2．线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期八年级（期中）教学质量监测试题 数 学 （考试时间：90分钟，试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故选：C． 2. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 3. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故选：A ． 4. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义；故本选项正确； C、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义．最简二次根式的被开方数中不含有分母、最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，1， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. ，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可得1，1，能构成直角三角形，不符合题意； B、由可得6，8，10能构成直角三角形，不符合题意； C、由可得5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； D、由可得，2，不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相等， ∴AE=AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵SABCD=BC×AE=CD•AF． 又∵AE=AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD为菱形． 故选：B． 【点睛】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 7. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵公路、互相垂直， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， 即M，C两点间距离为， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 8. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 9. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、两点间距离公式，先求得的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：D． 10. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，运用进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题看了二次根式的乘方运算，根据，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：7 13. 如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质等知识，过A作于G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用平行线的距离求解即可． 【详解】解：过A作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴直线，之间的距离为2， 故答案为：2． 14. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 15. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为13m，则A、B间的距离为______m． 【答案】26 【解析】 【分析】D、E是AC和BC的中点，则DE是△ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴AB=2DE=26m． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，正确理解定理是解题的关键． 16. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、利用平方根解方程等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先证出图1中将正方形分成的四块四边形是全等的四块四边形，从而可得图2中，的长为图1中正方形的边长，再设，则，，从而可得，利用正方形的面积公式求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，由正方形的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴图1中将正方形分成的四块四边形是全等的四块四边形， ∴图2中，的长为图1中正方形的边长， 由题意，设，则， ∴， ∴图1中正方形的边长为， ∵图2中阴影部分图形面积为16， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算是解题的关键． 先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？ 【答案】至少要走 【解析】 【分析】连接，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，中， ∴， 答：至少要走． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19. 如图，在中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用平行四边形的性质和全等三角形的判定是本题的关键． 根据平行四边形性质得出，，再证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵四边形平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18， 10 （2）①直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：18，10； 【小问2详解】 ①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 21. 下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 【答案】（1）或 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，熟练地进行计算是解题的关键． （1）分别在和中，利用勾股定理进行计算即可； （2）利用（1）的结论进行计算，可求出x的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ； 在中，， ， 或， 故答案为：或； 【小问2详解】 由（1）可知，在中， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 22. 在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析 【解析】 【分析】选择小壮：先证明，再证明四边形为平行四边形，可得到，即可证明； 选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明； 选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明． 【详解】解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 若选择小刚： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形矩形； 若选择小强： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. （1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点B落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，如图2．线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）相等，理由见详解 【解析】 【分析】（1）先判断四边形是矩形，再由邻边相等即可证明； （2）连接，先证，再证即可求证； 【详解】解：（1）在矩形ABCD中， ∵， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质可知，， ∴矩形是正方形． （2）相等，理由如下， 如图，连接， 由（1）可知， 由折叠的性质可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$