4.6两条平行线间的距离　课件 2024—2025学年湘教版数学七年级下册

第四章平面内的两条直线 4.6两条平行线间的距离 湘教版 七年级数学下册 1.教学目标 1．理解公垂线和平行线之间的距离的概念，了解两平行线之间的公垂线段相等．能够测量两条平行线之间的距离，会画已知直线已知距离的平行线；能解决与两条平行线间的距离有关的问题． 2．通过将平行线之间的距离转化为点到直线的距离，体会转化的数学思想． 3．通过对两平行线之间的距离的探究，渗透转化、数形结合的思想，培养观察、分析、概括和实践、合作交流的能力以及推理能力． 2.新知导入 A B 连接两点的线段的长度叫两点间的距离 M 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. N a 3.新知探究 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离. 如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. A C C D l1 l2 4.新知讲解 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的________. 连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的____________. 公垂线 公垂线段 如图，直线 AB 与 CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线. 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 线段 AB ， CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段. 比较线段 AB 与 CD 的长度，AB = CD. 4.新知讲解 做一做：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a 交点处的刻度，问：刻度有改变吗？ a b 通过上述实验，你发现了什么？ 4.新知讲解 由此可得： 两条平行线的所有公垂线段都相等. 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 由上述结论可以进一步猜测： 平行线 l1与l2 之间的距离等于l1 上任一点到直线 l2 的距离. 几何语言： 因为l1 ∥ l2 ，AC，BD 是 a，b 的公垂线段， 所以 AC = BD. 4.新知讲解 如图，线段 AB 是两条平行线 l1与l2 的公垂线段，从而线段 AB 的长度是直线 l1与l2 之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离， 因此，平行线 l1与l2 之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离. 由此可知：两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 4.新知讲解 如图 ，AB∥DC，AB=DC，DE ⊥ AB，BF ⊥ CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？ 例1 解：因为 AB∥DC，DE⊥AB， 所以 DE⊥DC. 又 AB∥DC，BF⊥CD，于是 BF⊥AB. 因而 DE∥FB . 又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB 从而线段DF，EB 都是平行线DE 与FB 的公垂线段. 故 DF=EB. 又 AB=DC， 所以 AB – EB = DC - DF，即AE = CF. 4.新知讲解 设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示 . 已知 a 与 b 的距离为 5，b 与 c 的距离为 2，求a与c的距离. 例2 解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别 与 b，c 相交于 B，C 两点． 因为a，b，c 是三条互相平行的直线， 所以∠1 =∠2 =∠3 = 90°， 即 AB⊥b，AC⊥a . 因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段. 又 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 ， 因此 a 与 c 的距离是 7 . 4.新知讲解 (1) 如图 1， 由 AB = 5 ，BC = 2 ， 得 AC = 7 . A B C 解：有两种情况： 图 1 a b c a c b A B C 图 2 (2) 如图 2， 由 AB = 5 ，BC = 2 ， 得 AC = 3 . 综上可知，a 与 c 的距离为 7 或 3 . 若将例 2 中的“如图所示”去掉，a与c 的距离会变化吗？ 1. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm， 这样的直线可以画几条？ 可以画 2 条 5.课堂练习 5.课堂练习 2. 如图，MN // AB，P，Q 为直线 MN上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积有什么关系？为什么？ 解：分别过 P、Q 两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为 C、D. 因为 MN // AB，PC⊥AB，QD⊥AB， 所以 PC = QD. 所以△PAB 和△QAB 的面积相等. 因为△PAB 的面积 = (AB·PC)， △QAB 的面积 = (AB·QD) 5.课堂练习 2. 已知 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 3 cm，b 与 c 之间的距离为 4 cm，则 a 与 c 之间的距离为　 　　cm. 1. 如图，已知直线 MN∥PQ，BC = 4 cm，若△ABC 的面积为 6 cm²，则平行线 MN，PQ 的距离是　　 cm. 3 7 或 1 3.如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3cm/s.两点的运动时间为ts，直线a与b之间的距离为30cm，当t的值为多少时，点P与点Q距离最近？ 解：根据题意可知，当PQ∥a时，PQ最短， 此时AP+BQ=30cm， 所以2t + 3t =30， 所以t=6, 所以当点P与点Q距离最近时，t的值为6. 6.课堂小结 两条平行线的距离 性质：两条平行线的所有公垂线段都相等. 概念 公垂线：与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线 公垂线段：连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段 平行线间的距离：两条平行线的公垂线段的长度 1.从课后习题中选取； 2.完成同步课时的习题. 课后练习 $$