4.6 两条平行线间的距离 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦平面内两条平行线间的距离，涵盖公垂线、公垂线段的概念及“所有公垂线段都相等”的性质，通过让学生画平行线并取点作垂线比较距离，引导自主发现规律，衔接点到直线距离知识，搭建学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（几何直观），通过性质证明和三条平行线距离的分类讨论发展数学思维（推理意识），结合面积计算等实例强化数学语言（应用意识）。课堂小结系统梳理知识，学生能提升探究与转化能力，教师可高效实施教学。

湘教版数学七年级下册 第4章 平面内的两条直线 4.6 两条平行线间的距离 1.知道公垂线、公垂线段和两条平行线间的距离的概念,会测量两条平行线间的距离. 2.知道两条平行线的所有公垂线段都相等.（重点） 3.通过将平行线间的距离转化为点到直线的距离,体验转化的数学思想.（难点） 学习目标 思 考 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. A C B D l1 l2 你能得出AB⊥l1，CD⊥l1吗？为什么？ 探究新知 1、如图，直线 AB 与 CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线. 2、线段 AB ， CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段. 知识总结 1.与两条平行直线________的直线，叫作这两条平行直线的________. 公垂线 ——公垂线和公垂线段的定义 2.连接两个______的线段，叫作这两条平行直线的____________. 公垂线段 垂足 都垂直 ——公垂线段的性质 两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离. 知识总结 两条平行线的所有公垂线段都_______. 相等 几何语言： ∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2 ∴AC=BD 1、直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线M交AB于M，交CD于N，交EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是(　　) A.线段MN   B.线段EF C.线段OE     D.线段OF B 小试牛刀 2.如图,a∥b,那么a,b之间的距离的是 ( ) A.AB的长 B.EF的长度 C.AE的长 D.BC的长度 B 思 考 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ A C C D l1 l2 通过比较，AB与CD相等吗？ 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 探究新知 如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. 平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段， 从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离， 因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A 到直线l2的距离. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 证明： 探究新知 小试牛刀 1.如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝6 cm，则BD＝________cm. 6 2.如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10，则S△ACD＝(　　)    A．10     B．9     C．8     D．7 A 例1 如图， AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？ 解：∵AB∥DC，DE⊥AB ∴ DE⊥DC 又 ∵AB∥DC，BF⊥CD ∴BF⊥AB ∴ DE∥FB 又 ∵DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB， ∴线段DF，EB 都是平行线DE 与FB 的公垂线段. ∴DF=EB 又∵ AB=DC ∴AB – EB = DC - DF，即AE = CF. 例题精讲 例2 设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示.已知a 与b 的距离为 5 ，b 与c 的距离为 2 ，求a 与c 的距离． 解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别 与 b，c 相交于 B，C 两点． 因为a，b，c 是三条互相平行的直线， 所以∠1 =∠2 =∠3 = 90°， 即 AB⊥b，AC⊥a . 因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段. 又 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 ， 因此 a 与 c 的距离是 7 . 例题精讲 议一议 若将例 2 中的“如图所示”去掉，a与c 的距离会变化吗？ a b c A C B AC=AB-BC=5-2=3 没有图形时，分两种情况讨论（如图） a b c A C B AC=AB+BC=5+2=7 探究新知 5 2 5 2 两平行间的公垂线段 两平线间的公垂线段相等 利用两平行线间的距离解题 公垂线段的长度叫做两平行线间的距离 课堂小结 一展身手 1. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm， 这样的直线可以画几条？ 可以画 2 条 一展身手 2. 如图， MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△ PAB 和△ QAB 的面积有什么关系？ 为什么？ 解: 相等.理由如下: 因为△ PAB 和△ QAB 的AB 边上的高相等，都是 MN 和 AB 之间的距离，即两三角形同底等高，所以△ PAB 和△ QAB 的面积相等. 一展身手 3.如图，DE∥BC，AF⊥DE 于 G，DH⊥BC 于 H，且 AG=4 cm，DH= 4 cm，试求点 A 到 BC 的距离. 解：因为AF⊥DE，DE∥BC， 所以AF⊥BC. 因为DH⊥BC， 所以DH∥GF. 因为DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC， 所以DH = GF = 4cm. 所以AF = AG + GF = 4cm + 4cm = 8 cm. 即点 A 到 BC 的距离是 8 cm. 挑战自我 1、 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是(　　)    A．∠ABD＝∠ACD    B．CE＝FG    C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度    D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度 D 因为CE⊥l2，FG⊥l2，所以l1与l2两平行线间的距离就是线段CE或FG的长度，故D选项错误． 挑战自我 2、如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD＝6，四边形ABCD的面积为24，求相邻两条平行线间的距离． $