4.5垂线 第二课时 点到直线的距离　课件 2024—2025学年湘教版数学七年级下册

第四章平面内的两条直线 4.5.2点到直线的距离 湘教版 七年级数学下册 1.教学目标 1．掌握垂线段的基本事实及点到直线的距离的概念。并会度量点到直线的距离；理解垂线段的概念及垂线路最短的性质；会用角尺或量角器过一点画已知直线的垂线． 2．能利用垂线的性质进行简单推理和计算。 3．在数学活动中培养数学的良好情感，激发学习数学的热情． 2.新知导入 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 垂直的定义是什么？ 3.新知探究 问题1：如图，任画一条直线 l ，作 l 的垂线.这样的垂线能画出几条？ 可以画无数条 4.新知讲解 问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？ 可以画一条 一“靠” 二“过” 三“画” 4.新知讲解 (2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？ 可以画一条 b 问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. 4.新知讲解 通过画点在直线上或在直线外的垂线，你能发现什么？ 无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画直线 l 的一条垂线. 理由：假如过点P还有一条直线c，能使c ⊥ l， 则c ∥ a（或c ∥ b）. 又直线c与直线a（或直线b）有公共点P，因此这是不可能的. 4.新知讲解 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 于是，可得关于垂线的基本事实： 注意: ① “过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外. ② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性. 4.新知讲解 如图 ，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . 经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D，…，线段 PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段. 垂线段 斜线段 垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足. 4.新知讲解 ① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短. 比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？ ② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度，可知线段 PO 最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 简单说成：垂线段最短． 如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. 特别规定： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 4.新知讲解 (1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离. 4.新知讲解 (2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处， 如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 如图，垂线段最短． 4.新知讲解 (3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. 4.新知讲解 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： （1） 点A到直线BC的距离； 例3 解： 因为∠ABC = 90°， 所以AB ⊥ BC，点B为垂足， 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段. 因为AB = 5， 所以点A到直线BC的距离为5. 4.新知讲解 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： （2） 点B到直线AC的距离. 例3 解：因为BD ⊥ AC，垂足为点D， 所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离. 因为S△ABC = BC·AB = AC·BD， 所以B到直线AC的距离 等面积法 5.课堂练习 1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离. 解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D . D 所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离. 因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD , 所以 . 因为∠BAC = 90°， 所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足， 所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4. 17 5.课堂练习 提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离. 2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离． 5.课堂练习 3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？ 解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩. 5.课堂练习 1. 如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD ⊥BC， （1）图中可以表示点到直线距离的线段共有_____条. （2）若BC=10，AC= 6，AB=8，则点C到AB的距离为_____，点B到AC的距离为______，点A到BC的距离为_______. 5 6 8 4.8 2.如图所示，已知∠AOB =∠COD = 90°， (1)若∠BOC = 45°，求∠AOC 与∠BOD 的度数； (2)若∠BOC = 25°，求∠AOC 与∠BOD 的度数； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理. 解：(1)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 45°， 所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 45°， ∠BOD =∠COD-∠BOC = 45°. (2)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 25°， 所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 65°， ∠BOD =∠COD-∠BOC = 65°. (3)∠AOC =∠BOD，等角的余角相等. 5.课堂练习 3. 如图，OF 平分∠AOC，OE⊥OF，AB 与 CD 相交于 O，∠BOD = 130°，求∠EOB 的度数. 解：因为∠AOC =∠BOD，∠BOD = 130°， 所以∠AOC = 130°. 因为OF 平分∠AOC， 所以∠AOF =∠FOC = 65°. 因为OE⊥OF， 所以∠EOF = 90°. 所以∠BOE = 180°-∠AOF-∠EOF = 180°-65°-90°= 25°. 6.课堂小结 垂线段最短． 垂线 垂线的画法 点到直线的距离 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 1.从课后习题中选取； 2.完成同步课时的习题. 课后练习 $$