精品解析：江苏省无锡市梁溪区侨谊明德实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

2024～2025学年度第二学期期中试卷 七年级数学 考试时间：90分钟 满分分值：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在太平洋相关公海海域成功发射一枚洲际弹道导弹，其射程达到12000公里．其中12000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 5. 下列运算：①；②；③；④．其中，运算错误的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是由绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 9. 有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（） A. 4张 B. 8张 C. 9张 D. 10张 10. 如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算的结果为__________． 12. 二元一次方程有______个非负整数解． 13. 已知，，求的值为______． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 15. 如图，在一个的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的_____． 16. 如图，在的正方形网格中，格点A，B的位置如图，在其它格点中确定一点C，使是轴对称图形，则符合条件的点C位置的个数是______． 17. 在学习《整式乘法》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式，从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． 请你解决问题：将边长分别为a、b、c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成上图，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简请你写出化简后的等式__________． 18. 如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），__________． 三、解答题（共7小题，19题16分，20题6分，21、22、23、24题各8分，25题12分，共66分） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 解下列方程组： （1） (2) 22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． （1）画出先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的； （2）画出的边上的高； （3）找（要求各顶点在格点上，不与点重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点共______个． 23. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．试判断与的位置关系，请说明理由． 24. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 25. 【数学问题】试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 【解法讨论】小彤说：“连续奇数的差是2，我们可以设其中较小的数为x，则较大的数为．然后再利用平方差公式来推理．” 小园说：“赞同你的想法，不过有一个漏洞，你这种设法不能表明这两个数一定是奇数．” 小彤说：“嗯，你说的有道理，那么设较小的数为可以吗？” 【问题解决】请你按照小彤和小园讨论的思路，完成问题的证明过程． 【迁移运用】探究：两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中试卷 七年级数学 考试时间：90分钟 满分分值：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中、是轴对称图形，故本选项符合题意； D中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及同底数幂的乘法和除法，熟练掌握各个运算是解题的关键．根据幂的乘方及同底数幂的乘法和除法可进行求解． 【详解】解：A．不能合并，原计算错误，故不符合题意； B．，计算正确，故符合题意； C．，原计算错误，故不符合题意； D．，原计算错误，故不符合题意． 故选：B． 3. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在太平洋相关公海海域成功发射一枚洲际弹道导弹，其射程达到12000公里．其中12000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析：根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．此题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 【详解】解：∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、，原说法错误，故选项符合题意； C、，原说法正确，故选项不符合题意； D、，则，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算：①；②；③；④．其中，运算错误的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算求解即可． 【详解】解：，错误，故①符合要求； ，错误，故②符合要求； ，正确，故③不符合要求； ，错误，故④符合要求； 故选：C． 6. 如图，是由绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，， A项正确，不符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ， ， B项正确，不符合题意； C项正确，不符合题意； D项不一定成立，符合题意； 故选：D． 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算． 【详解】解：A、大长方形的面积为：（x＋6）（x＋4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x＋6）（x＋4）−6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x，宽为x＋4和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x＋4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x＋4）＋24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x＋6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x＋6）＋x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x＋4）＋24＝x2＋4x＋24，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，难度适中，解题时要注意利用数形结合的思想找出对应的数量关系进行计算． 9. 有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（） A. 4张 B. 8张 C. 9张 D. 10张 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设还需要抽取面积为a2的正方形纸片k张，由题意知拼成大正方形的面积为b2+6ab+ka2，又因b2+6ab+ka2是完全平方式，即可得k=9，即还需面积为a2的正方形纸片9张．故答案选C． 考点：完全平方公式的几何背景． 10. 如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：， 故答案为：． 12. 二元一次方程有______个非负整数解． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，将化为，然后根据方程的解为非负整数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵方程的解为非负整数， ∴， ∴有4组非负整数解． 故答案为：4． 13. 已知，，求的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，同底数幂相除，先根据，，得出，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图，在一个的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，据此解答即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，两组对应顶点的连线的垂直平分线的交点是旋转中心， 故答案为：． 16. 如图，在的正方形网格中，格点A，B的位置如图，在其它格点中确定一点C，使是轴对称图形，则符合条件的点C位置的个数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据是轴对称图形，从而得出是等腰三角形，在图中找出使得是等腰三角形的格点即可． 【详解】解：∵是轴对称图形， ∴是等腰三角形， ∴图中当为腰，以点B为顶点时，符合条件的格点有点、，当为腰，以点A为顶点时，符合条件的格点有点，当以为底时，没有符合条件的格点，如下图， ∴使是轴对称图形，则符合条件的点C位置的个数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及轴对称图形，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 在学习《整式乘法》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式，从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． 请你解决问题：将边长分别为a、b、c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成上图，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简请你写出化简后的等式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解题意是解题的关键． 用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， 故答案为：． 18. 如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），__________． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 三、解答题（共7小题，19题16分，20题6分，21、22、23、24题各8分，25题12分，共66分） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由负整数指数幂，零指数幂的计算法则进行计算； （2）先计算乘方再计算乘法，除法最后从左至右依次进行计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算进行解答； （4）直接利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 【点睛】本题主要考查各类计算法则，熟练掌握计算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 21. 解下列方程组： （1） (2) 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ①+②得4x=8， 解得，x=2 把x=2代入①得，2+y=1， 解得，y=-1 所以，方程组的解为； （2）方程组整理得， ①×7+②×3得，29x=174 解得，x=6 把x=6代入①得，y=1， 所以，原方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． （1）画出先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的； （2）画出的边上的高； （3）找（要求各顶点在格点上，不与点重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点共______个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）取格点连接交于点，线段即为所求； （3）利用等底等高的两三角形面积相等即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 如图，满足这样条件的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的高，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是如何用相关知识在网格中找出关键的格点． 23. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．试判断与的位置关系，请说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形内角和定理、对顶角相等、垂直定义等知识，先由旋转性质得到得到，，结合三角形内角和定理及对顶角相等确定，即可得到，从而得到与的位置关系．熟记旋转性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 理由如下： 证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， 即． 24. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 25. 【数学问题】试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 【解法讨论】小彤说：“连续奇数的差是2，我们可以设其中较小的数为x，则较大的数为．然后再利用平方差公式来推理．” 小园说：“赞同你的想法，不过有一个漏洞，你这种设法不能表明这两个数一定是奇数．” 小彤说：“嗯，你说的有道理，那么设较小的数为可以吗？” 【问题解决】请你按照小彤和小园讨论的思路，完成问题的证明过程． 【迁移运用】探究：两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 【答案】问题解决：见解析；迁移运用：不是，证明见解析 【解析】 【分析】问题解决：设较小的数为，利用平方差公式计算差，根据结果判断即可； 迁移运用：首先设两个连续的偶数分别为，，再计算，根据结果判断． 【详解】解：问题解决： 设较小的数为，则较大的数为，为整数， ∴ ， ∵为整数， ∴一定能被8整除， 故两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 迁移运用： 设两个连续的偶数分别为：，， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $