精品解析：重庆市沙坪坝区重庆市南开中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

南开中学2024-2025学年度第二学期初2027届半期质量监测数学试题 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑． 1. 计算的 结 果 是 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则直接计算即可，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 成语是中国民族传统文化的重要组成部分，学习成语，可以帮助我们更好地理解和传承中华文化．下 列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 画饼充饥 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可求解，掌握以上定义是解题的关键． 【详解】解：、拔苗助长是不可能事件，该选项不合题意； 、守株待兔是随机事件，该选项不合题意； 、画饼充饥是不可能事件，该选项不合题意； 、旭日东升是必然事件，该选项符合题意； 故选：． 3. 若，则代数式A 为（　　） A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得，再把分子分解因式并把分子与分母约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 4. 如图，将一块含的三角板和一块直尺放在一起，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，如图，由平行线的性质可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵, ∴， 故选：． 5. 网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，根据该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机，得出这样设计的原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机， ∴这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：D 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 7. 木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三根木条的长度范围即可得到答案． 【详解】解；由题意得，第三根木条的长， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 8. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据和都是一个完全平方式解答即可． 【详解】解：和它们都是完全平方式， 或， 解得：或， 故选：C． 9. 如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，添加一个条件，仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质和线段的和差关系可证明，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加条件，则，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以根据证明，故C符合题意； 添加条件，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：C． 10. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的三条高都在三角形内部 C. 全等三角形的中线相等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高、全等三角形的中线和三角形的外角，根据以上定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：、三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，该选项说法正确，符合题意； 、三角形的三条高可能在三角形的内部、外部或边上，该选项说法错误，不合题意； 、全等三角形的对应中线相等，该选项说法错误，不合题意； 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 11. 折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体、如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，小南将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质以及折叠的性质，三角形内角和定理，首先由平行线的性质得到，，然后结合折叠求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴， 由折叠得，， ∴ ∴． 故选：D． 12. 关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． ①设，然后系数对应求出，，代入即可判断①；②根据多项式A与B的乘积中不含项得到，求解即可判断②；③首先求出当时，，当时，得到，进而求解即可． 【详解】解：①当B能被整除时， 设 ∴， ∴，故①正确； ②当多项式A与B的乘积中不含项时， ∴ ∴ ∴，故②正确； ③∵ ∴当时， 当时， ∴ ∴，故③正确误． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 二 、填空题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开”，某品种的梅花花粉直径为米，数据用科学记数法表 示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大内角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设三角形的三个内角的度数分别为，根据三角形内角和定理列出方程求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的三个内角的度数分别为， 由题意得，， 解得， ∴最大内角的度数为， 故答案为：． 15. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，正确计算是解答本题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 16. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、黄、绿、蓝四种颜色的小球．已知袋中有红球个，绿球个，蓝球个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黄球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算问题，设袋中黄球有个，根据概率公式列出方程即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：设袋中黄球有个， 由题意得，， 解得， ∴袋中黄球有个， 故答案为：． 17. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 18. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，先得，由垂线的定义得到，，根据平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角相等，设，则，得，进而由垂直得，再根据角平分线的定义得，求出可得的度数，最后根据对顶角相等即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，非负数的性质，代数式求值，由已知可得，进而根据非负数的性质可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 22. 如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据是的中线，得，，，再结合，得，设，，，即，运用面积的关系得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 则设， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， ∵ ∴ ∴四边形的面积为 ∵记的面积为，四边形的面积为， 即， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在中，，的高线相交于点．点分别在和的延长线上，分别平分和，分别平分和，则______． 【答案】##107度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形内角和定理等，由三角形高的定义得，即得，进而得，即可得，进而由角平分线的定义得，，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 一个四位自然数（各数位上的数字均不为），若个位数字与十位数字的平方和等于它千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位 数为“美丽平方和数”．比如：，满足，则为“美丽平方和数”；比如：，由于，则不是“美丽平方和数”．如果一个“美丽平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均为整数时，满足条件的的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，由题意得，即得，得到是的整数倍，又由是整数，得是的整数倍，当取最小值时，取最小值，再分别对取值解答即可求解，理解题意的解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵是整数， ∴是的整数倍， ∵是整数， ∴是的整数倍， 当取最小值时，取最小值， 当时，或， ∴或， 当，时，，，符合题意， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为：． 三 、计算题（本大题共3个小题，25、26题每小题5分，27题8分，共28分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据有理数的乘方、零指数幂、绝对值的性质及负整数指数幂分别运算，再合并即可； （）根据单项式乘以单项式、幂的乘方及单项式除以单项式的运算法则计算，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 26. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算和乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 27. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式除以多项式的计算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 四 、解 答 题（ 本 大 题 共 5 个 小 题 ， 2 8 题 8 分 ， 2 9 - 3 1 题 每 题 1 0 分 ， 3 2 题 1 2 分 ， 共 5 0 分） 解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上 ． 28. 如图，在中，，点D为边上一点，点E，F为边上两点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点F作直线交于点G，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作的图形中，小南同学发现，若，则．请完成下面的推导过程． 证明：∵（已知） ∴（ ）， ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ）， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴ ．（垂直的定义） 【答案】（1）见详解 （2）两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；； 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，则，即可作答． （2）先由两直线平行，内错角相等得出，再结合，进行等量代换得，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出，则，最后由得出，即可作答． 【小问1详解】 解：过点F作直线交于点G，连接，如图所示： 【小问2详解】 解：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴．（垂直的定义） 故答案为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；． 29. 南开讲坛既是南开学子探索学术的窗口，亦是点燃创新火种的殿堂．在这里，前沿知识与人文情怀交融，激发着南开学子对未知的渴望与探索的勇气．为了解同学们的兴趣爱好，学校随机抽取了部分同学最喜欢的讲座类别进行调查（被调查的每名学生只选择其中一种），并对调查结果进行收集、整理、描述、分析，下面给出部分信息： 最喜欢的讲座类别频数（人数）统计表 类别 频数（人数） 科技 人文 艺术 体育 其它 最喜欢的讲座类别扇形统计图 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为______； （2）若该校共有名学生，请估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的共有多少名； （3）随着教育大模型的启动，下一期的南开讲坛主题为人工智能.每个班有个去现场的名额， 老师准备随机选取去现场的学生．已知学生小开的班上共有学生名，求小开能被选中去现场参加下一期南开讲坛的概率． 【答案】（1），， （2）名 （3） 【解析】 【分析】（）利用选择人文的学生人数和百分比求出抽取的学生人数，进而可求出，再用乘以“体育”所在扇形的百分比可求出所在扇形的圆心角度数； （）用乘以选择艺术和体育的人生占比即可求解； （）根据概率公式直接计算即可； 本题考查了频数分布表，扇形统计图，概率，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数为人， ∴，， 在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， 答：估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的学生共有名； 【小问3详解】 解：小开能被选中去现场参加下一期南开讲坛的概率为． 30. 如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 31. 在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）①根据图形即可求解；②由①结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由图可得，， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 32. 如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； （3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵中点是， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会通过一边一角相等构造全等是解题的关键． （1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明； （2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明； （3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时由，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，并且使，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折知， 可知是定值， 由中，，，是定值， 则斜边是定值， 由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2024-2025学年度第二学期初2027届半期质量监测数学试题 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑． 1. 计算的 结 果 是 （　　） A. B. C. D. 2. 成语是中国民族传统文化的重要组成部分，学习成语，可以帮助我们更好地理解和传承中华文化．下 列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 画饼充饥 D. 旭日东升 3. 若，则代数式A 为（　　） A. a B. C. D. 4. 如图，将一块含的三角板和一块直尺放在一起，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，添加一个条件，仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的三条高都在三角形内部 C. 全等三角形的中线相等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 11. 折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体、如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，小南将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二 、填空题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开”，某品种的梅花花粉直径为米，数据用科学记数法表 示为______． 14. 一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大内角的度数是______． 15. 若，，则_______． 16. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、黄、绿、蓝四种颜色的小球．已知袋中有红球个，绿球个，蓝球个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黄球有______个． 17. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 18. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 19. 如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为______． 20. 已知，则代数式的值为______． 21. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为______． 22. 如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为______． 23. 如图，在中，，的高线相交于点．点分别在和的延长线上，分别平分和，分别平分和，则______． 24. 一个四位自然数（各数位上的数字均不为），若个位数字与十位数字的平方和等于它千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位 数为“美丽平方和数”．比如：，满足，则为“美丽平方和数”；比如：，由于，则不是“美丽平方和数”．如果一个“美丽平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均为整数时，满足条件的的最小值是______． 三 、计算题（本大题共3个小题，25、26题每小题5分，27题8分，共28分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： （1）； （2）． 26. 化简： （1）； （2）． 27. 先化简，再求值：，其中． 四 、解 答 题（ 本 大 题 共 5 个 小 题 ， 2 8 题 8 分 ， 2 9 - 3 1 题 每 题 1 0 分 ， 3 2 题 1 2 分 ， 共 5 0 分） 解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上 ． 28. 如图，在中，，点D为边上一点，点E，F为边上两点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点F作直线交于点G，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作的图形中，小南同学发现，若，则．请完成下面的推导过程． 证明：∵（已知） ∴（ ）， ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ）， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴ ．（垂直的定义） 29. 南开讲坛既是南开学子探索学术的窗口，亦是点燃创新火种的殿堂．在这里，前沿知识与人文情怀交融，激发着南开学子对未知的渴望与探索的勇气．为了解同学们的兴趣爱好，学校随机抽取了部分同学最喜欢的讲座类别进行调查（被调查的每名学生只选择其中一种），并对调查结果进行收集、整理、描述、分析，下面给出部分信息： 最喜欢的讲座类别频数（人数）统计表 类别 频数（人数） 科技 人文 艺术 体育 其它 最喜欢的讲座类别扇形统计图 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为______； （2）若该校共有名学生，请估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的共有多少名； （3）随着教育大模型的启动，下一期的南开讲坛主题为人工智能.每个班有个去现场的名额， 老师准备随机选取去现场的学生．已知学生小开的班上共有学生名，求小开能被选中去现场参加下一期南开讲坛的概率． 30. 如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数 ． 31. 在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 32. 如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； （3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $