精品解析：安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题

安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题 合肥八中 巢湖一中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵璧中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 满分150分,考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式的求解与交集的定义求解即可. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，所以， 解得， 故选:C. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面的平行及垂直进行判断． 【详解】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 6. 记为数列的前 项和，若为等比数列，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由为等比数列，求出再得到，进行求解． 【详解】为等比数列，的首项为，第二项为， 第三项为， 的公比为当 时，， 显然当时也符合， ． 故选：A. 7. 已知是双曲线上的任意一点，过作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【详解】 如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由，又在定义域上单调递增，则，于是．再利用导数求函数的最小值即可． 【详解】因为， 所以，而， 故，又在定义域上单调递增，则， 于是． 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 【答案】AB 【解析】 【分析】求出平均数、中位数、方差、第80百分位数依次判断即可. 【详解】对于A，平均数为，A正确； 对于B，中位数为，B正确； 对于C，方差为，C错误； 对于D，由，得第80百分位数为52，D错误. 故选：AB 10. 已知 为坐标原点，，直线过抛物线 的焦点 ，且与 交于两点，则（ ） A. B. 当时， C. 可以为 D. 周长的最小值是11 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，设直线AB的解析式为，联立，由抛物线的定义及韦达定理求解；对于B项，设点 到直线AB的距离为，则，，进行求解；对于C项，由进行判断；对于D项，由抛物线的定义知，的最小值是点 到抛物线准线的距离，进行求解． 【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去 得 ， ． 对于A，由抛物线定义知，，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，设点 到直线AB的距离为，则，，即， 解得或（负值舍去）， 则．故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由抛物线的定义知，的最小值是点 到抛物线准线的距离，的最小值为6， 又周长的最小值是11，故D正确． 故选：ABD. 11. 由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有11个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，由进行判断；对于B项，先求出是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，再由导数求解；对于C项，由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域；对于D项，直接利用周期性求出零点. 【详解】易知“优生成函数”为， 因为， 所以关于直线对称，故A正确； 显然， 所以是函数的周期， 所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同， 设，则， 求导得， 故在区间上单调递增，故B错误； 由关于对称及是函数的周期知， 只需考查时的值域， 因为，在区间上单调递增， 故当时，． 当时，， 求导得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当时，，故C正确； 易知在区间上，零点分别为，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于C项，由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆 的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆 的方程为， 故圆 的半径为． 故答案为： 13. 在棱长为2的正方体中， 是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面，再求出的外接圆半径，所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，即可求解． 【详解】如图， 为的中点， 平面， 平面平面 平面正方体的棱长为2， ， ， 的外接圆半径为 所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积． 设圆柱的外接球半径为 ，则 三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知 的内角所对的边分别为 ，且． （1）求 ； （2）若，求 周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设 的外接圆半径为 ，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理及，得， ， ， ． 【小问2详解】 设 的外接圆半径为 ， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面， 是上一点． （1）求证：平面平面； （2）若 是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 在四棱锥中，，，则， ，在 中，，则， 即，于是，由平面，平面， 得，又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）由（1）的信息得二面角的平面角，再利用几何法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在 中，，则，由 是的中点， 得，于是， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 已知椭圆 的短轴长为，且离心率为． （1）求 的方程； （2）若分别是 的左、右顶点，设直线与 轴交于点 ，点是直线上不同于点 的一点，直线BQ与 交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意得即可求解； （2）假设存在点，使得，则，设，则，直线BQ的方程为． 由即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，解得椭圆 的方程为． 【小问2详解】 假设存在点，使得，则． 设，则， ，直线BQ的方程为． 点在直线BQ上，， 点是直线上不同于点 的一点，，解得 点在椭圆 上，，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 存在点，使得，点的坐标为或． 18. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望； （3）设第 次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为 （3） 由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）设事件“第 次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意 的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【小问1详解】 设事件“第 次投篮命中”，则“第 次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． 【小问2详解】 由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以 的分布列为 0 1 2 ……所以． 【小问3详解】 略 19. 已知曲线在点处切线方程为，其中 为常数． （1）①求 的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数 ，使得成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）①，； ②证明：由①知，， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 故函数只有一个零点． （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，求函数的导数，由导数的几何意义即可求解；②由①知，，记，由导数研究函数的单调性进行求解； （2）因为存在正实数 ，使得成立，即存在正实数 ，使得成立．令，则，由单调性求出，即可求解． 【小问1详解】 ①由题意得，， 则，解得． 易得，则， 因为点在直线上， 所以，解得． ②略 【小问2详解】 因为存在正实数 ，使得成立， 所以存在正实数 ，使得成立， 即存在正实数 ，使得成立． 令，则， 由（1）②知，有唯一解在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 由，得，即， 即，亦即． 易得在上单调递增， 由，得，所以，即， 所以， 故，即 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题 合肥八中 巢湖一中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵璧中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 满分150分,考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数 （ ） A. 1 B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 6. 记为数列的前 项和，若为等比数列，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 7. 已知是双曲线上的任意一点，过作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 10. 已知 为坐标原点，，直线过抛物线 的焦点 ，且与交于两点，则（ ） A. B. 当时， C. 可以为 D. 周长的最小值是11 11. 由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有11个零点 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 13. 在棱长为2的正方体中， 是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________． 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知 的内角所对的边分别为 ，且． （1）求 ； （2）若，求 周长的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面， 是上一点． （1）求证：平面平面 ； （2）若 是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知椭圆 的短轴长为，且离心率为． （1）求的方程； （2）若分别是的左、右顶点，设直线与 轴交于点 ，点 是直线上不同于点 的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点 ，使得？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望； （3）设第 次投篮命中的概率为，求证：． 19. 已知曲线在点处切线方程为，其中 为常数． （1）①求 的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数 ，使得成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $