安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题

安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题

合肥八中  巢湖一中  淮南二中  六安一中  南陵中学  舒城中学  太湖中学  天长中学

屯溪一中  宣城中学  滁州中学  池州一中  阜阳一中  灵璧中学  宿城一中  合肥六中

太和中学  合肥七中  科大附中  野寨中学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

满分150分,考试时间120分钟．请在答题卡上作答．

第I卷（选择题    共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，若，则实数（   ）

A. 1 B.  C.  D.

3. 若复数满足，则（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ）

A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种

6. 记为数列的前项和，若为等比数列，则（   ）

A. 64 B. 32 C. 16 D. 8

7. 已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别

为，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（   ）

A. -e B. -1 C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得零分．

9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（   ）

A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50

C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5

10. 已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ）

A.  B. 当时，

C. 可以为 D. 周长的最小值是11

11. 由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（   ）

A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减

C. 的值域为 D. 在区间上有11个零点

第II卷（非选择题    共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________.

13. 在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________．

14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的

点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

15. 已知的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

16. 如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．

17. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为．

（1）求的方程；

（2）若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．

（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；

（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；

（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．

19. 已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．

（1）①求的值；②证明：只有一个零点．