第三节 导数与函数的极值、最值 讲义-2025届高三数学三轮冲刺

第三节 导数与函数的极值、最值讲义——高三数学2025届三轮冲刺高频考点复习整合 一、核心考点概述 1. 导数的几何意义： · 导数表示函数在某点处的切线斜率。 · 的点为可能的极值点。 1. 极值与最值的定义： · 极值：局部最大值或最小值。 · 最值：全局最大值或最小值（可能出现在区间端点）。 1. 判定条件： · 极值点：且在两侧导数符号变化。 · 最值点：比较区间内所有极值与端点函数值。 二、6大题型精讲 题型1：求函数的极值点 · 步骤： 2. 求导。 2. 解方程得临界点。 2. 判断两侧导数符号变化。 · 例题：求的极值点。 解：，临界点。 · 时，；时， → 为极大值点。 · 时， → 为极小值点。 题型2：根据极值点求参数 · 步骤： 2. 设极值点满足。 2. 解方程求参数。 · 例题：已知在处有极值，求。 解：，代入得 → 。 题型3：求函数的最值 · 步骤： 2. 求区间内所有极值点。 2. 计算极值点与端点的函数值。 2. 比较得最大值与最小值。 · 例题：求在上的最值。 解：，临界点。 · ，， → 最大值，最小值。 题型4：含参函数的最值问题 · 步骤： 2. 求导并解临界点方程。 2. 分析参数对临界点位置的影响。 2. 分情况讨论最值。 · 例题：求在上的最小值。 解：，临界点。 · 当时，最小值在，为。 · 当时，最小值在，为。 · 当时，最小值在，为。 题型5：利用极值求参数范围 · 步骤： 2. 设极值点满足。 2. 结合极值条件（如）列不等式。 · 例题：若在处有极小值，求。 解：，代入得。验证，符合条件。 题型6：极值、最值与单调性的综合问题 · 步骤： 2. 分析导数的符号变化确定单调区间。 2. 结合极值点与端点比较最值。 · 例题：求在上的最值。 解：，二阶导。 · 极小值点，。 · 当时， → 无最大值，最小值为。 三、解题策略与技巧 1. 求导公式： · 常用公式：，，。 1. 极值点判定： · 一阶导数符号变化法：左负右正为极小值，左正右负为极大值。 · 二阶导数法：为极小值，为极大值。 1. 最值比较： · 闭区间上，比较所有极值与端点值。 · 开区间上，可能无最值（如在上）。 1. 参数分析： · 参数影响临界点位置，需分情况讨论。 四、易错点剖析 1. 导数为零的点不一定是极值点： · 需验证两侧导数符号变化（如在处无极值）。 1. 最值点不在极值点处： · 闭区间端点可能是最值点（如在上）。 1. 参数范围错误： · 未考虑所有临界点或端点（如漏解的边界值）。 1. 计算错误： · 导数计算或代入时符号错误（如误写为）。 五、典型例题解析 例1：求的极值。 解：，临界点。 · 处，，极小值。 · 处，（实际应为负，纠正为极大值）。 例2：已知在处有极值，求并求在上的最值。 解：，。 · 最小值在处，为。 · 最大值在端点或处，为。 六、强化训练 1. 求极值点： · 。 1. 根据极值求参数： · 在处有极小值，求。 1. 求最值： · 在上的最值。 1. 含参最值： · 在上的最小值。 总结：导数是研究函数性质的核心工具，需熟练掌握求导、极值判定、最值比较等技巧。通过专项训练，提升解题速度与准确性。 学科网（北京）股份有限公司 $$