精品解析：河北省沧州市青县木门店镇中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

河北省沧州市青县木门店中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 在一条东西走向的道路上，若向东走记作，那么向西走应记作（ ） A. B. C. D. 2. 将12630000用科学记数法表示为（ ） A. 0.1263×108 B. 1.263×107 C. 12.63×106 D. 126.3×105 3. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 4. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 两个有理数的和为负数，那么这两个数一定( ) A. 都是负数 B. 绝对值不相等 C. 有一个是0 D. 至少有一个负数 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 若多项式展开后不含和项，则、的值分别为（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，5 D. 5，3 8. 如图，在中，，，垂足为点，、分别是、边上的点，且，下列说法中；；当时，；，正确的个数有（　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（ ） A. 甲的车是白色的，乙的车是银色的 B. 乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C. 丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D. 丁的车是银色的，甲的车是红色的 10. 如图，在中，，那么（ ） A B. C. D. 与大小关系无法比较 11. 反比例函数y=的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（　　） A. y1，y2 B. y43，y44 C. y44，y45 D. y2014，y2015 12. 下列说法中，正确的个数有　　 ①二次函数的图象经过，两点，，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为的中，弦，互相垂直于点，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点的坐标为，点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 给式子“2b”表示的意义用一个实际问题可解释为_____． 14. 我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 15. 已知一个样本容量为50，在频数分布直方图中，各小长方形的高比为2：3：4：1，那么第四组的频数是___． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 设，． （1）求的值． （2）求值． 18. 已知多项式的值与字母x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）当y=1时，代数式的值3，求：当y=-1时，代数式的值． 19. A城有肥料400吨，B城有肥料600吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 运往C乡 运往D乡 A城 20元/吨 18元/吨 B城 16元/吨 12元/吨 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． （1）分别求，与x之间的函数关系式，以及同时满足，的自变量x的取值范围； （2）若A城的总运费不得超过7600元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值． 20. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的； （2）再在图中画出△ABC的高CD； （3）在AC上找一点P，使得线段BP平分△ABC面积，在图上作出线段BP； （4）在图中能使的格点Q的个数有_______个（点Q异于A） 21. 观察下列三行数并按规律填空： ，4，，16，，　　，① 0，6，，18，，　　，② ，2，，8，，　　，③ 取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 22. 如图，一车轱辘抵住高为的路沿，此时发现轮胎与地面的接触点与路沿下端的距离恰好为，请你利用已学的知识，求出车轱辘的直径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P坐标； （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 24. 如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，的长为 ； ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，连接，如图②，此时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省沧州市青县木门店中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 在一条东西走向的道路上，若向东走记作，那么向西走应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数的意义，即可得到答案． 【详解】解：若向东走记作，那么向西走应记作， 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键． 2. 将12630000用科学记数法表示为（ ） A. 0.1263×108 B. 1.263×107 C. 12.63×106 D. 126.3×105 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据科学记数法的定义，将某个数写成形式即可． 【详解】由已知得：； 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，解题关键在于确定的数值以及正负，其次注意细心即可． 3. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．此次调查属于抽样调查，故A不符合题意； B．样本容量是300，故B符合题意； C．2000名学生的身高情况是总体，故C不符合题意； D．被抽取的每一名学生的身高情况称为个体，故D不符合题意； 故选：B． 4. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分顶角为和底角为两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时， 它的底角度数为：； ∴它的底角度数是或． 故选：C． 5. 两个有理数的和为负数，那么这两个数一定( ) A. 都是负数 B. 绝对值不相等 C. 有一个是0 D. 至少有一个负数 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、不能确定，例如：-5+2=-3；. B、不能确定，例如：-8+8=0；. C、不能确定，例如：-5+2=-3；. D、正确．. 故选D． 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7. 若多项式展开后不含和项，则、的值分别为（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，5 D. 5，3 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用多项式乘以多项式的法则得出和项的系数，进而得出，的值． 【详解】解： 不含和项， ，， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，表示出和项的系数是解题关键． 8. 如图，在中，，，垂足为点，、分别是、边上的点，且，下列说法中；；当时，；，正确的个数有（　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由余角的性质可得，可证，故正确；通过证明，可得，即，故正确；由余角的性质可证，故正确；由三角形中位线定理可得，当时，，故错误． 【详解】解：， ， ， ，， ， ，故正确； ， ， ， ， 又， ， ，， ，故正确； ， ，故正确； 当时，则， ，， 点是的中点，点是的中点， ， 当时， ， ，故错误 综上所述，正确的说法有共个． 故选：C． 【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 9. 甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（ ） A. 甲的车是白色的，乙的车是银色的 B. 乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C. 丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D. 丁的车是银色的，甲的车是红色的 【答案】C 【解析】 【分析】先根据丁的丁说的是实话，由甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，且乙、丙的说法不正确，可知甲是红色，然后根据丙的说法判断出丁的颜色，从而当得出结论. 【详解】甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的， 乙说："丙的车是红色的，乙说的肯定不是真的，那么丙的车也不是红色的 ，那么丙说的也不是真的，就是甲说的是真的，他的车是红色的；丙说的是假的，那么丁的车就是蓝色的，甲说的是真的，乙的车不是白色的，那么乙的车是银色的，剩下白色是丙的. 故选C. 【点睛】此题是一个阅读理解形分析题，抓住题目中的一些关键句意是解题关键. 10. 如图，在中，，那么（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 11. 反比例函数y=的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（　　） A. y1，y2 B. y43，y44 C. y44，y45 D. y2014，y2015 【答案】C 【解析】 【分析】图象y=向右平移个单位长度得到一个新的函数y=，因为44＜＜45，结合图形可知：当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y44，当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y45． 【详解】解：图象y=向右平移个单位长度得到一个新的函y=， ∵44＜＜45， ∴当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y44， 当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y45． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 12. 下列说法中，正确的个数有　　 ①二次函数的图象经过，两点，，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为的中，弦，互相垂直于点，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点的坐标为，点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意，画出函数图象，得出；②根据题意，画图，利用勾股定理得出关系式；③在坐标系中画出图形，求出坐标，得出的值；④利用韦达定理得出长宽，长宽，再根据题意求出的值，从而得出对角线长度． 【详解】解：①如图， 由图象得：， 当时，，， ①错误； ② 过点作于点，过点作于点，连接，， 四边形是矩形 ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ②正确； ③如图，分别过点B，C作轴及轴的平行线，交于点， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， 同理可证：， ， ， 综上所述，或， 或， ③错误； ④设矩形的长为，宽为，对角线长为， 矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 矩形的周长值与面积值相等， ， ， ， 或， ， ， ， ， 当时，，即， 对角线长是， ④正确； 综上所述：②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的特征，根与系数的关系，圆的有关概念，等腰直角三角形，一元二次方程等，综合掌握知识点是解题的关键． 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 给式子“2b”表示的意义用一个实际问题可解释为_____． 【答案】答案不唯一，如一件衣服，单价为b元，买2件需多少钱？则为2b元． 【解析】 【分析】根据实际情境作答,比如一件衣服,单价为t,买2件需多少钱;也适用于生活用品和学习用品以及药品等等,答案不唯一. 【详解】如一件衣服,单价为b元,买2件需多少钱?则为2b元, 故答案为:答案不唯一,如一件衣服,单价为b元,买2件需多少钱?则为2b元. 【点睛】本题考查的知识点是代数式,此类问题应结合实际,根据代数式的特点解答. 14. 我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 15. 已知一个样本容量为50，在频数分布直方图中，各小长方形的高比为2：3：4：1，那么第四组的频数是___． 【答案】5 【解析】 【分析】频数分布直方图中，各小长方形的高比为2：3：4：1，则指各组频数之比为2：3：4：1，据此即可求出第四组的频数． 【详解】解：∵频数分布直方图中，各小长方形的高比为2：3：4：1，样本容量为50， ∴第四组的频数为50×＝5． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，关键是要知道频数分布直方图中各个长方形的高之比即为各组频数之比． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）． ∴． 故答案为：9． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 设，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2）1012 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）把，代入计算即可得到答案； （2）求出，将原式变形后代入计算即可． 小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则： 18. 已知多项式的值与字母x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）当y=1时，代数式的值3，求：当y=-1时，代数式的值． 【答案】（1）b=1，a=-3 （2）-9 【解析】 【分析】（1）直接合并同类项进而得出x的系数为零进而得出答案； （2）直接利用y=1时得出t-5m=6，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴ ， 则2-2b=0，a+3=0， 解得：b=1，a=-3； 【小问2详解】 解：∵当y=1时，代数式的值3，则t-5m-3=3， 故t-5m=6， ∴当y=-1时，原式=-t+5m-3=-6-3=-9． 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键． 19. A城有肥料400吨，B城有肥料600吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 运往C乡 运往D乡 A城 20元/吨 18元/吨 B城 16元/吨 12元/吨 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． （1）分别求，与x之间的函数关系式，以及同时满足，的自变量x的取值范围； （2）若A城的总运费不得超过7600元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值． 【答案】（1）；；；（2）A城运往C乡和D乡各200吨，B城运往C乡280吨，运往D乡320吨，此时运费最小为15920元． 【解析】 【分析】（1）设从A城运往C乡的肥料为x吨，则从A城运往D乡的肥料为（400-x）吨，从B城运往C乡的肥料为（480-x）吨，从B城运往D乡的肥料为520-（400-x）=（120+x）吨，根据题意列出y1、y2与x之间的函数关系式，然后再根据运料必须大于等于零列不等式组解答即可； （2）设两城总费用为y元，根据（1）的结论列出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）从A城运往C乡的肥料为x吨，则从A城运往D乡的肥料为（400-x）吨，从B城运往C乡的肥料为（480-x）吨，从B城运往D乡的肥料为520-（400-x）=（120+x）吨， 所以 依题意 ； （2）由得 设两城的总运费为y元，则 随x增大而减小 当时，y有最小值15920 即A城运往C乡和D乡各200吨，B城运往C乡280吨，运往D乡320吨，此时运费最小为15920元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数的解析式是解答本题的关键． 20. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的； （2）再在图中画出△ABC的高CD； （3）在AC上找一点P，使得线段BP平分△ABC的面积，在图上作出线段BP； （4）在图中能使格点Q的个数有_______个（点Q异于A） 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 （4）4 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图，即可得到答案； （2）根据三角形高的性质作图，即可得到答案； （3）根据三角形中线的性质作图，即可得到答案； （4）根据三角形的面积公式、平行线的性质作图并分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，则即为所求． 【小问3详解】 解：如图，点为中点，连接，则即为所求． 【小问4详解】 解：如图，过点作平行线． 则在图中能使的格点的个数有4个 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平移、三角形的高与中线、平行线，熟练掌握平移作图和三角形的中线是解题关键． 21. 观察下列三行数并按规律填空： ，4，，16，，　　，① 0，6，，18，，　　，② ，2，，8，，　　，③ 取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】64；66；32；2562 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．第①行有理数是按照的正整数次幂排列的；第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出第个数的表达式；根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解． 【详解】解：第①行的有理数分别是，，，，， 故第个数为是正整数），第6个数为64， 第②行的数等于第①行相应的数加2，即第的数为是正整数），第6个数为66， 第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第个数是是正整数），第6个数为32， 第①行的第10个数为， 第②行的第7个数为， 第③的第7个数为， 所以，这三个数的和为：． 故答案为：64，66，32． 22. 如图，一车轱辘抵住高为的路沿，此时发现轮胎与地面的接触点与路沿下端的距离恰好为，请你利用已学的知识，求出车轱辘的直径． 【答案】车轱辘的直径为 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、半径的计算的问题，常把半弦长，弦心距转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．将实际问题转化为关于圆的问题解答． 【详解】解：连接，则，过作于，则可得矩形， 且有，， 连接，设半径为，在中， 由勾股定理得方程，， 解得，， ， 答：车轱辘的直径为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）所有符合条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【小问1详解】 解：过点作轴于， 对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， ，， ， ， 解并经检验得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：所有符合条件点的坐标为或或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 24. 如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，的长为 ； ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，连接，如图②，此时，求的长． 【答案】（1）①或；②的长为或 （2） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． （1）①分两种情况，由线段的和差关系求解即可； ②分两种情况，由勾股定理求解即可； （2）由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，利用“”证明，可得． 【小问1详解】 解：①由题意可得： 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，， 综上所述，或， 故答案为：或； ②若为斜边时，则， 若为斜边时，则， 综上所述，或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由旋转可得：，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 由为等腰直角三角形可得：，， ，即， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$