精品解析：天津市河西区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

天津市河西区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试题 八年级数学（一） 试卷满分100分．考试时间90分钟．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”的并交回．祝你考试顺利！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则， ∴， 故选：． 2. 由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而判断两小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以组成直角三角形． 【详解】解：A、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项符合题意； D、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数中不含有开方不尽的数或式，化简判断即可． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，符合题意； C. ，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 4. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键．根据含30度角的直角三角形的边长的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故选：C． 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是正确解答此题的关键． 根据菱形的判定判断A；根据矩形的判定定理判断B、C；根据正方形的判定判断D． 【详解】解：A． 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，故符合题意； B． 两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故不符合题意； C． 两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； D．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，故不符合题意； 故选：A． 7. 点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算，坐标系中点和点的距离为，据此计算求解即可． 【详解】解：点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是， 故选：D． 8. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】如图：菱形中，分别是的中点， ， 故四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 故选：C． 9. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得到，根据可计算出，从而计算出，根据可计算出的值，证明是等边三角形，进一步证明得到，从而推算出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故①正确； 如下图所示，连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形、全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，即可作答． 【详解】解：16的平方根是， 故答案为：． 12. 已知是整数，正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了性质．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为2． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为． 故答案为：． 13. “如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是：___________________________ 【答案】如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”， 故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 15. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （Ⅰ）的长______． （Ⅱ）若M为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （Ⅰ）在上取一点，使，构造等腰直角、通过证明，从而可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （Ⅱ）延长交延长线于点，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（Ⅰ）在上取一点，使，连接， 在正方形的边长为4， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，延长交延长线于点， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算； 【详解】解：（1）原式= =- （2）原式=20-50-（5-2+2） =-30-7+2 =-37+2； 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ． 19. 如图，在中，、为对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出，，，，推出，，根据全等三角形的判定推出，即可得； （2）由，得出，从而得，继而得，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； 【小问1详解】 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 又∵ 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，， 的面积， ． 21. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）由翻折得：，求出，，设，则，在中，由勾股定理得，代入求出x即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 由翻折得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确掌握矩形的性质及勾股定理的计算是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF． （1）求证：四边形CFAD是菱形； （2）若AB＝4，BD＝，求四边形CFAD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形CFAD的面积为6． 【解析】 【分析】（1）用一组对边平行且相等来得出四边形CDAF为平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可证明四边形CFAD是菱形； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵E是AD的中点， ∴AE=ED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∵AD是BC边中线， ∴CD=BD， ∴AF=CD， ∴四边形CFAD是平行四边形， ∵∠BAC=90°，AD是BC边中线， ∴AD=CD， ∴四边形CFAD是菱形； （2）∵∠BAC=90°，AB=4，BD=，AD是BC边上的中线， ∴BC=2BD=5， 由勾股定理得：AC==3， ∴S△ACD=S△ABC=S四边形ADCF， ∴四边形CFAD面积=S△ABC=×3×4=6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，理解题意是解题的关键． 23. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定条件、线段垂直的判定、勾股定理的使用，解题关键是全等之后对应角度和对应边灵活转化． （1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边与、与，两线点的夹角相等，判定全等； （2）利用第一问的全等条件，得到与相等，进而得到与的夹角是直角，垂直关系． （3）利用正方形的性质，求得对角线长，得到的长，证明是正方形，借助求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形、四边形是正方形， ，， ， 在和中， 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ． ， ． ， ． ． 【小问3详解】 解：连接 ∵四边形是正方形， ，，，． ． ． 四边形是正方形， ，． 且． ∴四边形是正方形． ． ． ，，， ． ． 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市河西区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试题 八年级数学（一） 试卷满分100分．考试时间90分钟．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”的并交回．祝你考试顺利！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列命题中，是真命题是（ ） A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等四边形是矩形 C. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 点在平面直角坐标系中，则点P到原点距离是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 16的平方根是________． 12. 已知是整数，正整数n的最小值为______． 13. “如果两个实数相等，那么它们绝对值相等”的逆命题是：___________________________ 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 15. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为______． 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （Ⅰ）的长______． （Ⅱ）若M为中点，连接，则的长为______． 三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 19. 如图，在中，、为对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 20. 如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 21. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处， （1）求的长； （2）求的长． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF． （1）求证：四边形CFAD是菱形； （2）若AB＝4，BD＝，求四边形CFAD的面积． 23. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$